Exercícios Resolvidos de Critério para Possuir Inversa de Funções Vetoriais

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 6.

A função f ρ , θ , ϕ = ρ cos θ sen ϕ , ρ sen θ sen ϕ , ρ cos ϕ está definida para todo ρ , θ , ϕ R ³ . Em que pontos ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 R ³ é possível garantir que essa função admite inversa numa vizinhança do ponto ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 ?

Passo 1

Pra saber se a função vetorial tem inversa nas proximidades do ponto ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 , o determinante da matriz jacobiana nesse ponto, tem que ser diferente de zero.

Aqui a gente precisa saber qual, ou quais, são esses pontos, que fazem esse determinante ser diferente de zero.

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Passo 2

Vamos começar calculando o jacobiano:

J F = f 1 ρ f 1 θ f 1 ϕ f 2 ρ f 2 θ f 2 ϕ f 3 ρ f 3 θ f 3 ϕ = cos θ sen ϕ - ρ sen θ sen ϕ ρ cos θ cos ϕ sen θ sen ϕ ρ cos θ sen ϕ ρ sen θ cos ϕ cos ϕ 0 - ρ sen ϕ

No ponto ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 :

J F ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = cos θ 0 sen ϕ 0 - ρ 0 sen θ 0 sen ϕ 0 ρ 0 cos θ 0 cos ϕ 0 sen θ 0 sen ϕ 0 ρ 0 cos θ 0 sen ϕ 0 ρ 0 sen θ 0 cos ϕ 0 cos ϕ 0 0 - ρ 0 sen ϕ 0

Passo 3

Agora vamos calcular o determinante:

det J F ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = cos θ 0 sen ϕ 0 - ρ 0 sen θ 0 sen ϕ 0 ρ 0 cos θ 0 cos ϕ 0 sen θ 0 sen ϕ 0 ρ 0 cos θ 0 sen ϕ 0 ρ 0 sen θ 0 cos ϕ 0 cos ϕ 0 0 - ρ 0 sen ϕ 0 =

- ρ 0 2 c o s 2 θ 0 s e n 3 ϕ 0 - ρ 0 2 sen 2 θ 0 sen ϕ 0 c o s 2 ϕ 0 + 0 - ρ 0 2 cos 2 θ 0 cos 2 ϕ 0 sen ϕ 0 - 0 - ρ 0 ² sen ² θ 0 sen ³ ϕ 0  

= - ρ 0 2 s e n 3 ϕ 0 c o s 2 θ 0 + sen 2 θ 0 - ρ 0 2 sen ϕ 0 c o s 2 ϕ 0 sen 2 θ 0 + cos 2 θ 0 =

- ρ 0 2 s e n 3 ϕ 0 - ρ 0 2 sen ϕ 0 c o s 2 ϕ 0 = - ρ 0 2 sen ϕ 0 s e n 2 ϕ 0 + c o s 2 ϕ 0 =

- ρ 0 2 sen ϕ 0

Passo 4

Por fim, precisamos saber para que valores de ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 esse determinante é diferente de zero.

det J F ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 0

ρ 0 2 sen ϕ 0 0

Para isso ser diferente de zero, temos que:

ρ 0 2 0

ρ 0 0

E

sen ϕ 0 0

ϕ 0 k π

E o θ ?

Nossa expressão para o determinante sequer depende de θ 0 . Isso significa que θ 0 pode assumir qualquer valor.

Logo, a função f tem inversa para todos os pontos

{ ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 R 3 ; ρ 0 0   e   ϕ 0 k π }

Resposta

A função f tem inversa para todos os pontos

{ ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 R 3 ; ρ 0 0   e   ϕ 0 k π }

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