Exercícios Resolvidos de Deformação e a Lei de Hooke

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 87-2.19.

Ambas as partes da barra A B C são feitas de um alumínio para o qual E = 70   G P a . Sabendo que a intensidade de P é 4   k N , determine ( a ) o valor de Q de modo que o deslocamento em A seja zero e ( b ) o deslocamento correspondente de B .

Passo 1

Se o trecho B C da barra sofrer uma variação de comprimento δ B C e se o trecho A B da barra sofrer uma variação de comprimento δ A B , então o deslocamento do ponto A vai ser a soma dessas variações:

δ A = δ A B + δ B C

Essas variações de comprimento podem ser calculadas usando a fórmula:

δ = N L E A

Para tanto, vamos precisar:

  • Das forças normais N em cada trecho da barra, calculadas em função das forças P = 4   k N e Q através de uma análise dos esforços internos em cada trecho;
  • Dos comprimentos originais de cada barra, L A B = 0,4   m e L B C = 0,5   m , de acordo com a figura do exercício;
  • Do módulo de elasticidade E = 70   G P a do material da barra;
  • E das áreas A das seções transversais de cada trecho da barra, calculadas a partir de seus diâmetros d A B = 20   m m e d B C = 60   m m , de acordo com a figura.

Ok, e o que é que o exercício quer?

No item ( a ) , ele quer saber qual deve ser o valor da força Q tal que o deslocamento em A seja zero:

δ A = 0

Só que isso é o mesmo que dizer que a soma das variações de comprimento dos trechos A B e B C é igual a zero:

δ A B + δ B C = 0

O que significa que uma variação tem que ser igual ao oposto da outra:

δ A B = - δ B C

Mas nós podemos encontrar essas variações em função das cargas P e Q nas barras!

(Primeiro temos que encontrar as forças internas N em função de P e Q e usar a fórmula δ = N L / E A .)

Então desenvolvendo essa última equação, podemos encontrar qual é o valor da força Q tal que o deslocamento em A seja zero.

Em seguida, no item ( b ) , o exercício quer que a gente use o valor encontrado de Q para calcular o deslocamento do ponto B , que vai ser igual a de comprimento do trecho B C :

δ B = δ B C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, temos que fazer uma análise dos esforços internos na barra para encontrar o valor da força normal N em cada trecho.

Para as seções entre A e B , o desenho fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças, temos:

F = 0

P - N A B = 0

O que implica que:

N A B = P

E agora para o trecho B C , o desenho fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças:

F = 0

P - Q - N B C = 0

Isolando N B C , encontramos:

N B C = P - Q

Passo 3

Como vimos anteriormente, para que o deslocamento em A seja zero ( δ A = 0 ) é preciso que:

δ A B = - δ B C

Agora que já temos as forças normais N nos trechos A B e B C da barra, já estamos prontos para desenvolver essa expressão e descobrir qual é o valor de Q que garante essa condição.

Aplicando a fórmula δ = N L / E A para cada trecho, temos:

N A B L A B E A A B = - N B C L B C E A B C

Não sabemos o valor das áreas A das seções transversais da barra.

Mas sabemos que essas áreas são circulares e podem ser calculadas em função de seus diâmetros através da fórmula A = π d 2 / 4 .

Sendo assim, a equação anterior fica assim:

N A B L A B E π d A B 2 4 = - N B C L B C E π d B C 2 4

Cortando os termos em comum dos dois lados, isso fica assim:

N A B L A B d A B 2 = - N B C L B C d B C 2

Substituindo as expressões encontradas para as forças normais N A B e N B C , temos:

P L A B d A B 2 = - P - Q L B C d B C 2

O que é o mesmo que:

P L A B d A B 2 = ( Q - P ) L B C d B C 2

Queremos encontrar Q , então devemos isolá-lo:

Primeiro, isolamos ( Q - P ) :

P d B C 2 L A B d A B 2 L B C = Q - P

E depois isolamos o próprio Q :

Q = P + P d B C 2 L A B d A B 2 L B C

Colocando P em evidência, isso fica assim:

Q = P 1 + d B C 2 L A B d A B 2 L B C

Substituindo P = 4   k N e substituindo os valores dos diâmetros d e dos comprimentos L fornecidos pela figura do exercício, temos:

Q = 4   k N 1 + 60   m m 2 0,4   m 20   m m 2 0,5   m

Calculando tudo, isso dá:

Q = 32,8   k N

Que é a resposta do item ( a ) !

Passo 4

Para o item ( b ) , vamos usar o valor encontrado para Q no item ( a ) para calcular o deslocamento do ponto B , que é igual à variação de comprimento do trecho B C :

δ B = δ B C

Usando a fórmula δ = N L / E A para o trecho B C :

δ B = N B C L B C E A B C

Descrevendo a área A B C em função de seu diâmetro d B C :

δ B = N B C L B C E π d B C 2 4

δ B = 4 N B C L B C E π d B C 2

Como N B C = P - Q :

δ B = 4 P - Q L B C E π d B C 2

Substituindo os valores de P , Q , L B C , E e d B C :

δ B = 4 4   k N - 32,8   k N 0,5   m 70   G P a π 60   m m 2

Como G P a = k N / m m 2 , as unidades k N e m m 2 vão se cortar e o resultado vai sar em m (metros).

Calculando tudo:

δ B = - 7,28 * 10 - 5   m

Esse número é bem pequeno, então é uma boa reescrever ele em m m :

δ B = - 7,28 * 10 - 2   m m = - 0,0728   m m

Ou seja, o ponto B se deslocou 0,0728   m m para baixo.

Resposta

a   Q = 32,8   k N ;

b   0,0728   m m   para baixo.

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