Deformação e a Lei de Hooke

Teoria Completa

Introdução

Sabe como quando a gente puxa um elástico ele se estica e fica mais longo? Ou como quando a gente senta em algumas cadeiras de plástico, elas cedem um pouco?

O que está acontecendo é que o elástico e a cadeira estão se deformando como uma reação às forças que estamos fazendo.

Um pessoal muito cabeça estudou essas deformações e descobriu que, na verdade, tudo se deforma um pouco quando a gente faz uma força.

Até uma coluna de aço ou de concreto se deforma quando é carregada!

O que acontece é que essas deformações são, muitas vezes, muuuuito pequenas, então a gente nem consegue percebê-las a olho nu.

Vamos ver um exemplo?

Vamos dizer que a gente tem uma barra submetida a uma tração.

Se essa barra tinha um comprimento inicial L , depois de ser tracionada ela vai se deformar e ter um comprimento final L ' :

A variação de comprimento sofrida pela peça pode ser representada por δ (“deltinha”) ou por Δ L (“Delta L”) e é igual a diferença entre os comprimentos final e inicial da peça:

δ = L ' - L

Agora, vamos dizer que, se a nossa barra variar mais que 1   c m , ela vai se chocar com outras peças e quebrar.

Nesse caso, não vai adiantar medir a variação depois que a barra já estiver quebrada.

Vamos precisar saber prever a variação de comprimento δ na barra para garantir que ela não vai ser maior que 1   c m .

Então, como é que a gente faz isso?

Como é que a gente calcula a variação de comprimento que uma peça vai sofrer por causa das forças que vão atuar nela?

Comportamento Elástico

Para responder isso, a gente pode se lembrar do que estudamos sobre molas na física.

Lá a gente viu que diz que se você aplicar uma força F em uma mola, ela vai sofrer uma variação de comprimento x , de acordo com uma constante elástica k :

F = k x

Daí que experimentos mostraram que a maioria dos materiais, até um certo nível de tensão, se comportam elasticamente como uma mola, mas com algumas diferenças.

Se a nossa barra se deforma, por exemplo, é porque cada um dos pequenos elementos que compõem ela agiram como uma pequena mola e se deformaram um pouco:

Só que:

1. Esses elementos não se deformaram como reação a força externa F . Eles se deformaram como reação a tensão normal σ que eles sentem quando a barra está carregada;

&

2. Não adianta saber que um elemento teve uma variação de comprimento x .

Para saber a variação de comprimento δ da barra, é preciso saber a variação de comprimento do material da barra por unidade de comprimento.

Só assim vamos poder multiplicar esse valor pelo comprimento original L da barra e descobrir a sua variação de comprimento.

Deformação Específica

Essa variação de comprimento por unidade de comprimento é chamada de “deformação específica” ou “deformação” e é representada pela letra grega ε (“epsilon”).

Ela é definida como a variação de comprimento δ de um pedaço de material dividida pelo comprimento inicial L desse pedaço:

ε = δ L

Como δ e L são medidas de comprimento, vemos que essa deformação ε é adimensional. Ela pode ser representada sem unidades ou com unidades como “ m / m ” ou “ m m / m m ”.

Por exemplo, vamos dizer que a nossa barra tinha um comprimento inicial L = 1000   m m e sofreu uma variação de comprimento δ de 1   c m = 10   m m .

A deformação ε nela vai ser igual a 10   m m / 1000   m m = 0,01 .

O valor de ε pode ser escrito como só “ 0,01 ” ou como “ 0,01   m m / m m ”.

Atenção!

Quando uma peça está sob tração, o seu comprimento aumenta, e assim a sua variação de comprimento δ e a sua deformação ε vão ter valores positivos ( + ).

Já em situações de compressão, o comprimento diminui, e assim essas medidas vão ter valores negativos ( - ).

Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade

Beleza, então a gente viu que os materiais reagem às tensões normais σ com deformações ε .

Agora, só falta conhecer a relação entre σ e ε .

Essa relação é a Lei de Hooke para materiais:

σ = E ε

Onde E é uma propriedade do material chamada de Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young que possui unidades de tensão, como k P a , M P a ou G P a .

O valor de E varia bastante entre os materiais: enquanto que E = 200   G P a para um aço, uma borracha pode ter E = 0,70   M P a .

Método de Resolução dos Exercícios

Basicamente, os problemas de deformação vão ser resolvidos a partir de combinações das fórmulas:

1. Da Variação de Comprimento:

δ = L ' - L

2. Da Deformação:

ε = δ L

3. Da Tensão Normal Média:

σ = N A

&

4. Da Lei de Hooke:

σ = E ε

Por último, substituindo ε = δ / L e σ = N / A na Lei de Hooke e isolando a variação de comprimento, encontramos uma quinta fórmula que é muito utilizada:

5. Fórmula da variação de comprimento causada pelo carregamento em uma peça:

δ = N L E A

Quanto ao nosso exemplo da barra:

Vamos dizer que nós já identificamos os valores da força interna normal N , do comprimento inicial L , do módulo de elasticidade E e da área da seção transversal A na barra.

Usando a fórmula acima, conseguimos calcular a variação de comprimento δ na barra e prever se essa variação vai ultrapassar ou não o limite de 1   c m .

Observação - Barras com vários segmentos

Essa fórmula δ = N L / E A assume que os valores de N , L , E e A são os mesmos ao longo de toda a barra.

Mas, em alguns exercícios, vamos ter barras com vários segmentos que possuem diferentes valores dessas variáveis.

Nesses casos, a variação de comprimento δ total da barra, vai ser igual a soma das variações de comprimento de cada segmento, ou seja:

δ = δ 1 + δ 2 + … = ∑ δ i = ∑ N i L i E i A i

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Um cabo de aço de 15   m de comprimento é tracionado até atingir um comprimento final de 15,21   m . Determine a variação do comprimento δ e a deformação ε sofrida por esse cabo.

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Passo 1

O cabo possui um comprimento inicial L = 15   m e um comprimento final L ' = 15,21   m .

A variação do seu comprimento vai ser a diferença entre os comprimentos final e inicial:

δ = L ' - L

δ = 15,21   m - ( 15   m )

δ = 0,21   m

Já a deformação ε é uma medida adimensional, dada pela razão entre essa variação δ e o comprimento original L :

ε = δ L

ε = ( 0,21   m ) ( 15   m )

ε = 0,014

Resposta

δ = 0,21   m

ε = 0,014

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 52-2.2.

O comprimento de uma fita elástica delgada não esticada é 375   m m . Se a fita for esticada ao redor de um cano de diâmetro externo 125   m m ,cobrindo todo o comprimento circular do tubo, determine a deformação normal média na fita.

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Passo 1

A fita possui um comprimento inicial L = 375   m m .

Já o seu comprimento final L ' vai ser igual ao perímetro externo do cano de diâmetro d = 125   m m .

Lembra aí! O perímetro de um círculo é 2 π r , onde r é o raio do círculo. Reescrevendo esse perímetro em função do diâmetro d , encontramos que o comprimento final L ' da fita é igual a π d .

Aplicando a fórmula da deformação ε e substituindo L ' = π d , temos:

ε = δ L = L ' - L L = π d - L L

Substituindo os valores de d e L , temos:

ε = π 125   m m - ( 375   m m ) ( 375   m m )

Calculando tudo, isso dá:

ε = 0,0472

Resposta

ε = 0,0472

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 52-2.3.

A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos B D e C E . Se a carga P aplicada à viga provocar um deslocamento de 10   m m para baixo na extremidade C , determine a deformação normal desenvolvida nos cabos C E e B D .

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Passo 1

Ambos os cabos tem comprimentos iniciais iguais L B D = L C E = 4   m .

O cabo C E sofre uma variação de comprimento δ C E = 10   m m .

Consequentemente o cabo B D vai sofrer uma variação de comprimento δ B D proporcional a δ C E , de acordo com a semelhança de triângulos abaixo:

Dessa semelhança de triângulos, tiramos que δ B D está para ( 3   m ) assim como δ C E está para ( 7   m ) , de tal forma que:

δ B D = 3 7 δ C E

Agora que temos em mãos os comprimentos iniciais L e as deformações δ para os cabos B D e C E , podemos calcular as deformações ε = δ / L nesses cabos:

ε B D = δ B D L B D           &           ε C E = δ C E L C E

Substituindo δ B D = 3 / 7 δ C E e substituindo os valores de L B D , L C E e δ C E , temos:

ε B D = 3 / 7 10   m m ( 4   m )           &           ε C E = ( 10   m m ) ( 4   m )

Agora, temos que tomar um pouco de cuidado uma vez que as deformações ε devem ser adimensionais.

Isso significa que as unidades em cima e em baixo dessas equações precisam ser iguais.

Podemos ajeitar isso reescrevendo o comprimento de 4   m como 4000   m m :

ε B D = 3 / 7 10   m m ( 4 000   m m )           &           ε C E = ( 10   m m ) ( 4 000   m m )

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

ε B D = 0,00107

ε C E = 0,00250

Exercício Resolvido #4

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 53-2.7.

Os dois cabos estão interligados em A . Se a força P provocar um deslocamento horizontal de 2   m m no ponto em A , determine a deformação normal desenvolvida em cada cabo.

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Passo 1

Os dois cabos tem comprimentos iniciais iguais L = 300   m m .

Usando os ângulos fornecidos de 30 ° , conseguimos deduzir:

  • que a distância vertical entre os pontos C e A e entre os pontos A e B é igual à 300   m m * s e n   30 ° = 300   m m * 1 / 2 = 150   m m ;
  • e que a distância entre o ponto A e a parede é de 300   m m * c o s   30 ° = 300   m m 3 / 2 = 259,808   m m