Lei de Hooke

Teoria Completa

Fala ai e bem vindo ao RespondeAÍ! Na nossa matéria de Mecânica e Resistência dos Materiais você encontra tudo que você precisa para bandar bem na sua prova. Nessa página vamos falar sobre deformações e sobre a Lei de Hooke.

As deformações são um processo natural que acontece quando aplicamos forças em um objeto. Por exemplo um viga de concreto com um peso sobre ela, tem uma tendência natural em sofre algum tipo de deformação. Que provavelmente não será

Existem vários tipos de deformações, e nós já conhecemos algumas delas, como deformações elásticas ou inelásticas mas vamos ver um exemplo que aparece frequentemente na matéria de ResMat:

Vamos dizer que temos uma barra com um comprimento inicial L e que essa barra vai sofrer a ação de uma tração, e essa tração vai aumentar o comprimento da barra em um pequeno fator que vamos chamar de $\delta$, confere a figura:

Nossa barra tem inicialmente $L=4m$, $A=100mm^2$ é feita de aço com $E=200GPa$ e foi submetida a uma força de $40kN$. Ela não pode variar mais de $1 cm$ se não pode se chocar com outras peças e acabar quebrando. Como eu posso ter certeza que isso não vai acontecer? Como garantir que $\delta \lt 1cm$.

As barras reagem às tensões normais $\sigma$ com deformações $\varepsilon$. E a lei de Hooke diz para gente que:

$$\sigma=E.\varepsilon$$

Ou seja, a relação entre a deformação específica do material ($\varepsilon$) e a tensão ($\sigma$) é dada através do Módulo de Elásticidade do Material também chamado de Módulo de Young.

Além da Lei de Hooke, para resolver problemas de Tensão e Deformação é importante que a gente conheça as fórmulas da deformação especifíca:

$$\varepsilon=\frac{\delta}{L}$$

E da tensão normal média:

$$\sigma=\frac{N}{A}$$

Com a combinação dessas três fórmulas, nós conseguimos alcançar na fórmula da variação de comprimenta causada pelo carregamento em uma peça:

$$\delta=\frac{NL}{EA}$$

Ou seja, é essa fórmula que vai nos dar o valor da variação de comprimento da barra, quando aplicada uma tensão sobre ela. Vamos voltar ao exemplo:

Desenhando esquematicamente nossa barra, e a força aplicada sobre ela:

Lembrando que estamos falando de uma barra com área $A=100mm^2$ e módulo de Young de $E=200GPa$, usando a fórmula da variação do comprimento da barra e modificando as unidades de medida para o S.I.:

$$\delta=\frac{NL}{EA}=\frac{(40.10^3)(4)}{(200.10^9)(100.10^{-6})}$$
$$\delta=5.10^{-4}m=0,05cm$$

Logo nossa barra não irá exceder o limite de $1 cm$!

Caramba! Engenheiros civis que se cuidem, essas paradas de tensão e deformação estão só no comecinho! Mas vamos com calma que aqui no RespondeAí você consegue todo o conteúdo necessário para mandar bem em Mecânica e Resistência dos Materiais, e ainda tem exercícios resolvidos, vídeos, livros resolvidos, questões de prova e muito mais... Confere um exercício em vídeo aqui rapidão:

Exercício

Confere nossa resolução de um exercício do tópico de Deformação e a Lei de Hooke, para entender direitinho essa matéria:

Uma coluna como a da figura é feita de um concreto com um módulo de elasticidade de $40 GPa$. Determine a deformação $\varepsilon$, a variação de comprimento $\delta$ e o comprimento final $L'$ dessa coluna quando ela estiver sob compressão por uma força $P$ de $640kN$.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Um cabo de aço de 15   m de comprimento é tracionado até atingir um comprimento final de 15,21   m . Determine a variação do comprimento δ e a deformação ε sofrida por esse cabo.

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Passo 1

O cabo possui um comprimento inicial L = 15   m e um comprimento final L ' = 15,21   m .

A variação do seu comprimento vai ser a diferença entre os comprimentos final e inicial:

δ = L ' - L

δ = 15,21   m - ( 15   m )

δ = 0,21   m

Já a deformação ε é uma medida adimensional, dada pela razão entre essa variação δ e o comprimento original L :

ε = δ L

ε = ( 0,21   m ) ( 15   m )

ε = 0,014

Resposta

δ = 0,21   m

ε = 0,014

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 52-2.2.

O comprimento de uma fita elástica delgada não esticada é 375   m m . Se a fita for esticada ao redor de um cano de diâmetro externo 125   m m ,cobrindo todo o comprimento circular do tubo, determine a deformação normal média na fita.

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Passo 1

A fita possui um comprimento inicial L = 375   m m .

Já o seu comprimento final L ' vai ser igual ao perímetro externo do cano de diâmetro d = 125   m m .

Lembra aí! O perímetro de um círculo é 2 π r , onde r é o raio do círculo. Reescrevendo esse perímetro em função do diâmetro d , encontramos que o comprimento final L ' da fita é igual a π d .

Aplicando a fórmula da deformação ε e substituindo L ' = π d , temos:

ε = δ L = L ' - L L = π d - L L

Substituindo os valores de d e L , temos:

ε = π 125   m m - ( 375   m m ) ( 375   m m )

Calculando tudo, isso dá:

ε = 0,0472

Resposta

ε = 0,0472

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 52-2.3.

A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos B D e C E . Se a carga P aplicada à viga provocar um deslocamento de 10   m m para baixo na extremidade C , determine a deformação normal desenvolvida nos cabos C E e B D .

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Passo 1

Ambos os cabos tem comprimentos iniciais iguais L B D = L C E = 4   m .

O cabo C E sofre uma variação de comprimento δ C E = 10   m m .

Consequentemente o cabo B D vai sofrer uma variação de comprimento δ B D proporcional a δ C E , de acordo com a semelhança de triângulos abaixo:

Dessa semelhança de triângulos, tiramos que δ B D está para ( 3   m ) assim como δ C E está para ( 7   m ) , de tal forma que:

δ B D = 3 7 δ C E

Agora que temos em mãos os comprimentos iniciais L e as deformações δ para os cabos B D e C E , podemos calcular as deformações ε = δ / L nesses cabos:

ε B D = δ B D L B D           &           ε C E = δ C E L C E

Substituindo δ B D = 3 / 7 δ C E e substituindo os valores de L B D , L C E e δ C E , temos:

ε B D = 3 / 7 10   m m ( 4   m )           &           ε C E = ( 10   m m ) ( 4   m )

Agora, temos que tomar um pouco de cuidado uma vez que as deformações ε devem ser adimensionais.

Isso significa que as unidades em cima e em baixo dessas equações precisam ser iguais.

Podemos ajeitar isso reescrevendo o comprimento de 4   m como 4000   m m :

ε B D = 3 / 7 10   m m ( 4 000   m m )           &           ε C E = ( 10   m m ) ( 4 000   m m )

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

ε B D = 0,00107

ε C E = 0,00250

Exercício Resolvido #4

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 53-2.7.

Os dois cabos estão interligados em A . Se a força P provocar um deslocamento horizontal de 2   m m no ponto em A , determine a deformação normal desenvolvida em cada cabo.

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Passo 1

Os dois cabos tem comprimentos iniciais iguais L = 300   m m .

Usando os ângulos fornecidos de 30 ° , conseguimos deduzir:

  • que a distância vertical entre os pontos C e A e entre os pontos A e B é igual à 300   m m * s e n   30 ° = 300   m m * 1 / 2 = 150   m m ;
  • e que a distância entre o ponto A e a parede é de 300   m m * c o s   30 ° = 300   m m 3 / 2 = 259,808   m m ,

Como mostra a imagem abaixo:

Quando o ponto A se desloca 2   m m para a direita, os cabos deixam de ter 300   m m de comprimento e a distância entre a parede e o ponto A sobe de 25 9,808   m m para 259,808 + 2   m m = 261,808   m m :

Para encontrar o comprimento final L ' dos cabos, podemos usar o Teorema de Pitágoras:

L ' 2 = 150   m m 2 + 261,808   m m 2

L ' = 150   m m 2 + 261,808   m m 2

Calculando, isso dá:

L ' = 301,734   m m

Agora que sabemos os comprimentos inicial L e final L ' , iguais para os dois cabos, podemos calcular a deformação ε nos cabos:

ε A C = ε A B = δ L = L ' - L L

Substituindo os valores de L e L ' , temos:

ε A C = ε A B = 301,7 34   m m - 300   m m 300   m m

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

ε A C = ε A B = 0,00578

Exercício Resolvido #5

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 70-3.10.

Uma barra de aço A-36 tem comprimento de 1250   m m e área da seção transversal de 430   m m 2 . Determine o comprimento da barra se ela for submetida a uma tração axial de 25   k N . O material tem comportamento elástico linear.

Dados: E A - 36 = 200   G P a

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Passo 1

A barra possui um comprimento inicial L = 1250   m m , uma área de seção transversal A = 430   m m 2 e é feita de um material com um módulo de elasticidade E = 200   G P a .

Ela está submetida a uma tração axial de 25   k N , o que gera nela uma força interna normal N = 25   k N .

O exercício quer saber o comprimento final L ' da barra, que vai ser igual ao comprimento inicial L mais a variação de comprimento δ causada pela tração na barra:

L ' = L + δ

Agora vamos nos lembrar...

Combinando as fórmulas da Lei de Hooke ( σ = E ε ), da tensão normal média ( σ = N / A ) e da deformação ( ε = δ / L ), obtemos uma nova fórmula.

É uma fórmula que relaciona diretamente a variação de comprimento δ em uma peça com o carregamento a qual ela está submetida:

δ = N L E A

Então usando essa fórmula, vamos ter que:

L ' = L + N L E A

Daí que podemos usar essa expressão acima para encontrar diretamente o comprimento final L ' da barra!

Passo 2

Como vimos, temos que:

L ' = L + δ = L + N L E A

Substituindo os valores de L , N , E e A , temos:

L ' = 1250   m m + 25   k N 1250   m m 200   G P a 430   m m 2

Para entender a situação das unidades na divisão, podemos substituir G P a por k N / m m 2 :

L ' = 1250   m m + 25   k N 1250   m m 200 k N m m 2 430   m m 2

Dessa forma, vamos ter que as unidades “ k N ” e “ m m 2 ” se cortam, e assim o resultado da divisão vai sair em m m !

Calculando a divisão, isso dá:

L ' = 1250   m m + 0,363   m m

E assim temos que:

Resposta

L ' = 1250,363   m m

Exercício Resolvido #6

Elaboração Própria

Uma coluna da figura é feita de um concreto com um módulo de elasticidade de 40   G P a . Determine a deformação ε , a variação de comprimento δ e o comprimento final L ' dessa coluna quando ela estiver sob compressão por uma força P de 640   k N .

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Passo 1

A força de compressão P = 640   k N gera na coluna uma força interna normal N , que, por sua vez, gera uma tensão normal média σ = N / A .

Para calcular essa tensão σ = N / A , podemos analisar os esforços internos na coluna para encontrar a força normal N e usar as dimensões 200   m m   ×   300   m m para encontrar a área A da seção transversal.

Agora, de acordo com a Lei de Hooke, essa tensão σ vai corresponder a uma certa deformação ε na coluna:

σ = E ε

Então conhecendo o módulo de elasticidade E = 40   G P a e a tensão σ , conseguimos encontrar a deformação ε na coluna, que é uma das coisas que o exercício quer que a gente determine.

Além disso, sabemos que a deformação ε é definida como:

ε = δ L

E que a variação de comprimento δ é definida como:

δ = L ' - L

Então sabendo que a coluna tinha um comprimento original L = 2   m , podemos usar as fórmula acima para encontrar a variação de comprimento δ e o comprimento final L ' da coluna.

Passo 2

Vamos começar avaliando os esforços internos na coluna para encontrar o valor da força normal N .

Desenhamos a coluna secionada, adicionamos a força externa P = 640   k N e adicionamos a força interna normal N apontando para fora da peça:

E em seguida, aplicamos o equilíbrio de forças na vertical para relacionar a força normal N com a força externa:

∑ F V = 0

640   k N + N = 0

Isolando N , encontramos que:

N = - 640   k N

Encontramos que a força normal N é negativa, ou seja, ela é uma força normal de compressão.

Consequentemente, a tensão normal média σ = N / A e a deformação ε = σ / E também vão ser negativas.

Passo 3

Com a força normal N encontrada, já temos todas as informações necessárias para aplicar a Lei de Hooke:

σ = E ε

Substituir a fórmula da tensão normal média σ = N / A :

N A = E ε

E isolar a deformação ε :

ε = N A E

Substituindo os valores N = - 640   k N , A = 200   m m   ×   300   m m e E = 40   G P a , temos:

ε = - 640   k N 200   m m   ×   300   m m 40   G P a

Como G P a = k N / m m 2 , as unidades dessa equação vão todas se cortar.

Calculando tudo, temos:

ε = - 2 , 66 - * 10 - 4

Essa já é uma das nossas respostas, agora vamos encontrar as outras duas!

Passo 4

Aplicando a fórmula da deformação ε :

ε = δ L

Isolando a variação do comprimento δ :

δ = ε L

Substituindo ε = - 2 , 66 - * 10 - 4 e L = 2   m , temos:

δ = ( - 2 , 66 - * 10 - 4 ) ( 2   m )

O que dá:

δ = - 5 , 33 - * 10 - 4   m

Como 10 - 3   m é o mesmo que m m , isso é o mesmo que:

δ = - 0,5 33 -   m m

Por última, a variação do comprimento δ é a diferença entre o comprimento final L ' e o comprimento inicial L :

δ = L ' - L

Isolando o comprimento final L ' , temos:

L ' = L + δ

Substituindo L = 2   m e δ = - 0,5 33 -   m m :

L ' = 2   m + ( - 0,5 33 -   m m )

1   m m é o mesmo que 0,001   m ou 10 - 3   m , então:

L ' = 2   m + ( - 0,0005 33 -   m )

Ou seja:

L ' = 1,9994 66 -   m

Resposta

ε = - 2 , 67 * 10 - 4

δ = - 0,533   m m

L ' = 1,999467

Exercício Resolvido #7

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 43-4.

Um corpo de prova padronizado, de aço, com 13   m m de diâmetro, sujeito a uma força de tração de 29,5   k N teve um alongamento de 0,216   m m para um comprimento de 200   m m . Admitindo-se que não foi superado o limite de proporcionalidade, estimar o valor do módulo de elasticidade longitudinal do aço.

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Passo 1

O corpo de prova tem um comprimento inicial L = 200   m m .

Quando submetido a uma tração de 29,5   k N , que gera nele uma força interna normal N = 29,5   k N , esse corpo de prova tem uma variação de comprimento δ = 0,216   m m .

Além disso, o corpo de prova possui uma seção transversal circular de diâmetro d = 13   m m .

Isso significa que a área A da seção transversal do corpo de prova pode ser calculada usando a fórmula da área de um círculo em função de seu diâmetro: A = π d 2 / 4 .

O exercício quer saber o valor do módulo de elasticidade E que rege a Lei de Hooke para esse corpo de prova:

σ = E ε

A tensão normal média σ e a deformação normal ε nessa equação podem ser substituídas pelas suas fórmulas:

σ = N A           &           ε = δ L

Conhecemos N , A , δ e L , então podemos usar essas fórmulas para encontrar o valor de E !

Passo 2

Vamos começar então aplicando a Lei de Hooke:

σ = E ε

E substituindo as fórmulas da tensão normal média σ e da deformação normal ε :

N A = E δ L

Em seguida, isolamos o módulo de elasticidade E :

E = N L A δ

Como a área A da seção transversal circular pode ser calculada em função de seu diâmetro d através da fórmula π d 2 / 4 , temos que:

E = N L π d 2 4 δ

E = 4 N L π d 2 δ

Substituindo os valores de N , L , d e δ :

E = 4 29,5   k N 200   m m π 13   m m 2 0,216   m m

Observando as unidades dessa equação, vemos que o resultado dela vai sair em k N / m m 2 , que é o mesmo que G P a .

Tendo isso em mente e calculando tudo, obtemos que:

Resposta

E = 206   G P a

Exercício Resolvido #8

Elaboração Própria

O eixo de aço A D abaixo possui, nos trechos A B e C D , uma seção transversal com uma área de 400   m m 2 , e, no trecho B C , uma seção transversal com uma área de 750   m m 2 .

Determine a variação de comprimento total do eixo quando ele está submetido às cargas mostradas na figura, sabendo que ele possui um módulo de elasticidade E = 200   G P a .

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