Exercícios Resolvidos de Deformação e a Lei de Hooke

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 86-2.14.

O cabo B C de 4   m m de diâmetro é feito de um aço com E = 200   G P a . Sabendo que a máxima tensão no cabo não pode exceder 190   M P a e que a deformação do cabo não deve exceder 6   m m , determine a máxima força P que pode ser aplicada conforme mostra a figura.

Passo 1

O que está acontecendo?

A viga A B é mantida em equilíbrio pelas reações horizontal e vertical do apoio em A e por uma força “ F B C ” feita pelo cabo B C , como mostra o seu DCL (diagrama de corpo livre):

Como reação a essa força F B C , a viga traciona o cabo B C com uma força de mesma intensidade F B C .

Essa tração no cabo gera nele uma tensão normal média σ = N / A .

Quanto maior for a força P , provavelmente maior será a força F B C , de forma a garantir o equilíbrio da viga. Quanto maior for F B C , maior será a tensão σ no cabo.

O cabo tem um diâmetro d = 4   m m , é feito de um aço com módulo de elasticidade E = 200   G P a e possui um comprimento inicial L que pode ser obtido através do teorema de Pitágoras:

L = 4 2 + 6 2 = 7,2111   m

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o valor máximo da força P tal que a tensão σ no cabo não ultrapasse 190   M P a e a variação de comprimento δ do cabo não ultrapasse 6   m m :

σ 190   M P a       &       δ 6   m m

Mas se a gente for parar pra pensar, essa variação de comprimento δ máxima corresponde a uma deformação ε = δ / L máxima que corresponde a uma tensão σ = E ε máxima.

Então essas condições podem ser reescritas como:

σ 190   M P a       &       σ E ( 6   m m ) L

Entre essas duas condições, a que resultar em valores mais restritos para σ vai ser a condição que vamos usar no restante do exercício, já que assim as duas condições vão estar sendo respeitadas.

Depois que tivermos definido a nossa condição limitante, vamos desenvolver nela a tensão normal média σ = N / A para encontrar o valor máximo da força P .

Para tanto, vamos precisar ter antes aplicado as condições de equilíbrio no DCL da viga para encontrar a intensidade da tração no cabo em função da força P .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então primeiro, vamos descobrir qual é a nossa condição limitante:

σ 190   M P a

ou...

δ 6   m m         ε 6   m m L         σ E ( 6   m m ) L

Pegando a segunda condição e substituindo os valores:

  • E = 200   G P a ;
  • e L = 4 2 + 6 2 = 7,2111   m ,

Temos:

σ 200   G P a 6   m m 7,2111   m

Para comparar essa condição com a outra, vamos querer uma resposta em M P a .

Então reescrevemos 200   G P a como 200 * 10 3   M P a e reescrevemos 6   m m como 6 * 10 - 3   m :

σ 200 * 10 3   M P a 6 * 10 - 3   m 7,2111   m

Calculando tudo, isso dá:

σ 166,41   M P a

Isso é menor que 190   M P a .

O que isso significa é que bem antes da tensão na corda atingir 190   M P a , a sua variação de comprimento já vai ter atingido 6   m m (quando a tensão for de 166,41   M P a ).

Sendo assim, a nossa condição limitante para o restante do exercício vai ser:

σ 166,41   M P a

Passo 3

Agora, antes de usar a condição σ 166,41   M P a para descobrir qual é o valor máximo de P , precisamos descobrir como P afeta a tensão normal média σ = N / A no cabo.

Como o cabo só está sobre tração por uma força de intensidade F B C , então a força interna normal N no cabo vai ser igual a F B C .

Sendo assim, precisamos avaliar o equilíbrio da viga para encontrar N = F B C em função da força P .

Fazendo o Diagrama de Corpo Livre da viga, temos:

Agora vamos pensar...

Queremos relacionar P e F B C .

A condição de equilíbrio que vai nos permitir fazer isso mais facilmente vai ser aquela que não envolve as outras forças ( H A e V A ), que é o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

M A = 0

A força P vai fazer um momento no sentido anti-horário ( + ) com um braço de 3,5   m .

Quanto a força F B C ela vai ter:

  • Uma componente vertical que não vai gerar momento (por ter um braço de 0   m );
  • E uma componente horizontal F B C * s e n   θ que vai gerar um momento no sentido horário ( - ) com um braço de 3,5   m + 2,5   m = 6   m .

Então o somatório de momentos fica assim:

P 3,5   m - F B C * s e n   θ 6   m = 0

Isolando F B C , temos:

F B C = P s e n   θ 3,5   m 6   m

Substituindo 3,5   m / 6   m por 7 / 12 :

F B C = 7 P 12   s e n   θ

Como a intensidade de F B C é a mesma intensidade da tração no cabo e, consequentemente, a mesma intensidade da força normal N no cabo, temos que:

N = 7 P 12   s e n   θ

Passo 4

Já sabemos como P afeta a força normal N e, consequentemente, a tensão σ = N / A no cabo.

Então já podemos aplicar a condição limitante:

σ 166,41   M P a

Substituindo a fórmula da tensão normal média:

N A 166,41   M P a

A área A da seção transversal do cabo pode ser encontrada a partir de seu diâmetro d de 4   m m através da fórmula A = π d 2 / 4 .

Substituindo isso e a expressão encontrada para N no passo anterior, temos:

7 P 12   s e n   θ π d 2 4 166,41   M P a

Isso é o mesmo que:

7 P 12   s e n   θ * 4 π d 2 166,41   M P a

Simplificando e juntando tudo, isso fica assim:

7 P 3 π d 2   s e n   θ 166,41   M P a

Queremos descobrir o valor máximo de P , então vamos isolá-lo:

P 3 π d 2   s e n   θ   ( 166,41   M P a ) 7

Antes de calcular tudo, precisamos descobrir o valor de s e n   θ .

Observando a figura do exercício:

Vemos que o seno de θ é igual ao cateto de 4   m sobre a hipotenusa, que pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras:

s e n   θ = ( 4   m ) 4 2 + 6 2 = 0,5547

Substituindo esse seno e o diâmetro d = 4   m m na equação anterior, temos:

P 3 π 4   m m 2 0,5547 ( 166,41   M P a ) 7

Megapascal ( M P a ) é o mesmo que um newton por milímetro quadrado ( N / m m 2 ), então o resultado desse cálculo vai sair em newtons ( N ):

P 1988   N

Esse número é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em k N :

P 1,988   k N

O valor máximo de P vai ocorrer quando essa expressão for uma igualdade, então:

Resposta

P m á x = 1,988   k N

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