Exercícios Resolvidos de Deformação e a Lei de Hooke

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Enunciado

Uma coluna da figura é feita de um concreto com um módulo de elasticidade de 40   G P a . Determine a deformação ε , a variação de comprimento δ e o comprimento final L ' dessa coluna quando ela estiver sob compressão por uma força P de 640   k N .

Passo 1

A força de compressão P = 640   k N gera na coluna uma força interna normal N , que, por sua vez, gera uma tensão normal média σ = N / A .

Para calcular essa tensão σ = N / A , podemos analisar os esforços internos na coluna para encontrar a força normal N e usar as dimensões 200   m m   ×   300   m m para encontrar a área A da seção transversal.

Agora, de acordo com a Lei de Hooke, essa tensão σ vai corresponder a uma certa deformação ε na coluna:

σ = E ε

Então conhecendo o módulo de elasticidade E = 40   G P a e a tensão σ , conseguimos encontrar a deformação ε na coluna, que é uma das coisas que o exercício quer que a gente determine.

Além disso, sabemos que a deformação ε é definida como:

ε = δ L

E que a variação de comprimento δ é definida como:

δ = L ' - L

Então sabendo que a coluna tinha um comprimento original L = 2   m , podemos usar as fórmula acima para encontrar a variação de comprimento δ e o comprimento final L ' da coluna.

Passo 2

Vamos começar avaliando os esforços internos na coluna para encontrar o valor da força normal N .

Desenhamos a coluna secionada, adicionamos a força externa P = 640   k N e adicionamos a força interna normal N apontando para fora da peça:

E em seguida, aplicamos o equilíbrio de forças na vertical para relacionar a força normal N com a força externa:

∑ F V = 0

640   k N + N = 0

Isolando N , encontramos que:

N = - 640   k N

Encontramos que a força normal N é negativa, ou seja, ela é uma força normal de compressão.

Consequentemente, a tensão normal média σ = N / A e a deformação ε = σ / E também vão ser negativas.

Passo 3

Com a força normal N encontrada, já temos todas as informações necessárias para aplicar a Lei de Hooke:

σ = E ε

Substituir a fórmula da tensão normal média σ = N / A :

N A = E ε

E isolar a deformação ε :

ε = N A E

Substituindo os valores N = - 640   k N , A = 200   m m   ×   300   m m e E = 40   G P a , temos:

ε = - 640   k N 200   m m   ×   300   m m 40   G P a

Como G P a = k N / m m 2 , as unidades dessa equação vão todas se cortar.

Calculando tudo, temos:

ε = - 2 , 66 - * 10 - 4

Essa já é uma das nossas respostas, agora vamos encontrar as outras duas!

Passo 4

Aplicando a fórmula da deformação ε :

ε = δ L

Isolando a variação do comprimento δ :

δ = ε L

Substituindo ε = - 2 , 66 - * 10 - 4 e L = 2   m , temos:

δ = ( - 2 , 66 - * 10 - 4 ) ( 2   m )

O que dá:

δ = - 5 , 33 - * 10 - 4   m

Como 10 - 3   m é o mesmo que m m , isso é o mesmo que:

δ = - 0,5 33 -   m m

Por última, a variação do comprimento δ é a diferença entre o comprimento final L ' e o comprimento inicial L :

δ = L ' - L

Isolando o comprimento final L ' , temos:

L ' = L + δ

Substituindo L = 2   m e δ = - 0,5 33 -   m m :

L ' = 2   m + ( - 0,5 33 -   m m )

1   m m é o mesmo que 0,001   m ou 10 - 3   m , então:

L ' = 2   m + ( - 0,0005 33 -   m )

Ou seja:

L ' = 1,9994 66 -   m

Resposta

ε = - 2 , 67 * 10 - 4

δ = - 0,533   m m

L ' = 1,999467

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