Exercícios Resolvidos de Deformação e a Lei de Hooke

Elaboração Própria

O eixo de aço A D abaixo possui, nos trechos A B e C D , uma seção transversal com uma área de 400   m m 2 , e, no trecho B C , uma seção transversal com uma área de 750   m m 2 .

Determine a variação de comprimento total do eixo quando ele está submetido às cargas mostradas na figura, sabendo que ele possui um módulo de elasticidade E = 200   G P a .

Passo 1

Nesse exercício, queremos encontrar a variação de comprimento δ do eixo quando ele está submetido ao carregamento mostrado.

Agora, lembra aí!

Já existe uma fórmula para encontrar a variação de comprimento δ em uma peça com base nas forças que atuam nela:

δ = N L E A

Nessa fórmula, N é a força interna normal, L é o comprimento original, E é o módulo de elasticidade e A é a área da seção transversal da peça.

Mas no nosso caso, o eixo tem diferentes trechos ( A B , B C e C D ) com diferentes valores de N , L e A .

Então a variação de comprimento total do nosso eixo A D vai ser a soma das variações de comprimento de cada trecho:

δ A D = δ A B + δ B C + δ C D

Aplicando a fórmula δ = N L / E A para cada trecho, e sabendo que o módulo de elasticidade E é o mesmo para toda a peça, temos que:

δ A D = N A B L A B E A A B + N B C L B C E A B C + N C D L C D E A C D

Então para resolver o nosso exercício, precisamos identificar os valores de N , L e A para cada trecho, e, em seguida, aplicar a fórmula acima.

Do enunciado, temos que A A B = A C D = 400   m m 2 , que A B C = 750   m m 2 e que E = 200   G P a .

E da figura, temos que L A B = 0,8   m , L B C = 1,2   m e L C D = 2,0   m .

Só falta identificar então as forças normais N , que precisam ser encontradas através de uma análise de esforços internos nas diferentes seções do eixo.

Mas atenção! A variação do comprimento δ = N L / E A de cada trecho pode ser positiva OU negativa. O que vai determinar isso é o sinal de N .

Isso significa que vamos ter que respeitar as convenções de sinais das forças internas na hora de calcular os valores de N A B , N B C e N C D !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar então fazendo uma análise de esforços internos para encontrar os valores das forças internas normais N nas diferentes seções do eixo.

1. Começando pelo trecho AB, essa análise fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças na horizontal, temos:

F H = 0

50   k N + N A B = 0

O que significa que:

N A B = - 50   k N

2. Já para as seções entre B e C, temos:

Aplicando o equilíbrio de forças:

F H = 0             50   k N + N B C = 0

De tal forma que:

N B C = - 50   k N

3. E, finalmente, para o trecho CD:

Aplicando o equilíbrio de forças:

F H = 0           - N C D + 40   k N = 0

O que significa que:

N C D = 40   k N

Passo 3

Encontrados os valores das forças normais N , podemos aplicar a fórmula:

δ A D = δ A B + δ B C + δ C D

δ A D = N A B L A B E A A B + N B C L B C E A B C + N C D L C D E A C D

Substituindo todos os valores, temos:

δ A D = - 50   k N 0,8   m 200   G P a 400   m m 2 + - 50   k N 1,2   m 200   G P a 750   m m 2 + 40   k N 2,0   m 200   G P a 400   m m 2

Pausa para prestar atenção nas unidades!

Podemos substituir G P a por k N / m m 2 . Dessa forma, as unidades k N e m m 2 vão se cortar e só vai sobrar para o resultado a unidade m (metros).

Calculando cada variação individualmente, isso fica assim:

δ A D = - 0,0005   m + ( - 0,0004   m ) + ( 0,0010   m )

Dá para ter uma noção melhor de cada deformação se reescrevermos elas em m m :

δ A D = - 0,5   m m + - 0,4   m m + ( 1,0   m m )

Somando as deformações individuais de cada trecho, encontramos a deformação total δ A D :

Resposta

δ A D = + 0,1   m m

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