Exercícios Resolvidos de Diagrama de Nyquist

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Enunciado

Use o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo:

G s = 1 s ( s + 2 )

Passo 1

Vamos avaliar a estabilidade de um sistema usando o critério de Nyquist. Para isto, usaremos a função n y q u i s t do MATLAB para plotar o diagrama de Nyquist de G ( s ) e, a partir do gráfico, veremos a estabilidade do sistema usando o critério de Nyquist. Mas antes de usar n y q u i s t , precisamos entrar com G ( s ) , por meio da função t f .

Passo 2

A função t f serve para criar funções de transferência e tem como sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

Ela tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Para G ( s ) , o polinômio do numerador é 1 . Já o polinômio do denominador é s s + 2 = s 2 + 2 s .

Em um novo script, vamos as entradas de t f . Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a 1 ∙ s 0 = 1 ∙ 1 = 1 , a variável contendo seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de n u m e ela é igual a 1 .

A outra variável é um vetor chamado d e n , contendo os coeficientes de s 2 + 2 s , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Logo abaixo das linhas onde n u m e d e n foram criados, já digitamos o comando G = t f ( n u m ,   d e n ) para criar G ( s ) , que será armazenado em G .

Antes de continuar, verifique G pra ver se não digitou nada de errado. Para isto, rode o programa que você tem até agora e imprima G no Command Window:

Estando tudo OK, podemos plotar o diagrama de Nyquist.

Passo 3

Use a função n y q u i s t para gerar o diagrama de Nyquist, que tem como sintaxe:

n y q u i s t ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

Ela tem como entrada uma função de transferência, criada usando o comando t f do MATLAB (representada por f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a acima), e ela gera um gráfico com o diagrama de Nyquist para f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a .

Adicione em seu código o comando:

Execute o programa para ver o diagrama de Nyquist de G :

Meio esquisito, né? Talvez você se assuste com esse formato diferente do que vimos nos exercícios anteriores, mas você vai ver no próximo passo que a análise do diagrama pelo critério de Nyquist não tem nada de diferente do que vimos até aqui.

Passo 4

Vamos utilizar o diagrama de Nyquist plotado para avaliar a estabilidade do sistema por meio do critério de Nyquist, que é dado pela equação:

Z = N + P

Onde:

  • Z é o número de polos positivos da função de transferência em malha fechada;
  • N é o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de ( - 1,0 ) . N é positivo se a volta for no sentido horário. Se for no sentido anti-horário, N é negativo.
  • P é o número de polos positivos da função de transferência em malha aberta.

Pelo critério de Nyquist, para que um sistema seja estável, Z deve ser igual a 0 .

O P é obtido calculando as raízes do denominador da função de transferência em malha aberta, no caso, G ( s ) :

G s = 1 s ( s + 2 )

O denominador de G ( s ) é s ( s + 2 ) , que tem como raízes 0 e - 2 . Logo, G ( s ) não tem polos positivos e P = 0 .

N é obtido pelo diagrama de Nyquist. Vamos rever o diagrama de Nyquist gerado no passo anterior:

Note a cruzinha vermelha na lateral esquerda do gráfico. Essa cruzinha marca o ponto de coordenadadas ( - 1,0 ) . Como a cruzinha vermelha está fora do diagrama de Nyquist (representado pela curva azul), o diagrama não dá volta alguma em torno dela, por isso, N   =   0 .

Tendo P e N , calculamos Z . Temos que Z = N + P = 0 + 0 = 0 . Como Z é igual a 0 , o sistema é estável.

Resposta

Sistema estável