Teorema de Thévenin e Norton

Teoria Completa

Fala aê, tudo certo? Nessa aula veremos dois teoremas muito poderosos! Para você ter uma ideia, vou te dar um spoiler: com esses teoremas podemos transformar esse circuito:

Nesse circuito:

Show, né?! Mas antes de chegarmos aos teoremas, vamos aprender transformação de fontes.

Transformação de fontes

Você lembra bem daquele conceito de fonte de tensão e fonte de corrente? Porque iremos precisar, então se tem alguma dúvida, dê um pulo rápido lá no tópico dessa aula e depois volta aqui :)

Bom agora que já estamos com esses conceitos bem fixados, iremos aprender uma técnica de simplificar circuito. A simplificação é um processo de equivalência, a qual não afeta o circuito, somente muda o jeito que ele está sendo mostrado. O que pode ser muito útil, tanto para resolver quanto para enxergar melhor o problema.

O processo de transformação de fontes consiste em substituir uma fonte de tensão com valor de v s , que está em série com uma resistência R , por uma fonte de corrente com valor de i s , com a mesma resistência R , porém em paralelo.

Para fazer essa substituição, basta usar a primeira lei de Ohm:

v s = i s R       →       i s = v s R

Não esqueça de que fontes de tensão têm polaridade e fontes de corrente têm sentido. Quando for substituir, perceba que o sentido da fonte de corrente sempre será voltado para o polo positivo da fonte de tensão, como é possível observar nas figuras acima.

Teorema de Thévenin

Vamos supor que o circuito abaixo seja de um dispositivo que você tenha em casa para caso falte luz. Os terminais a - b são os terminais de uma tomada e R L são as cargas que você pode conectar na tomada, como carregador de celular ( 6 Ω ) , ventilador ( 36 Ω ) ou uma lâmpada ( 16 Ω ) , por exemplo.

Agora, vamos supor que você deseja calcular a corrente que cada carga consome. Com o que a gente aprendeu até aqui, nós conseguiríamos obter as correntes, mas para cada valor de R L teríamos que analisar todo o circuito. Mas, através do Teorema de Thévenin nós podemos substituir todo o circuito à esquerda dos terminais a - b , por um circuito equivalente constituído apenas por uma fonte de tensão V T h em série com um resistor R T h . Esse processo torna a nossa análise mais rápida.

Agora, vamos ver como calcular a tensão equivalente de Thévenin V T h e a resistência equivalente de Thévenin R T h :

V T h é a tensão de circuito aberto aplicada aos terminais a - b :

Aplicando a LKT na primeira malha:

32 - 4 i 1 - 12 i 1 - i 2 = 0

Da segunda malha, temos que i 2 = - 2   A . Logo, substituindo na equação anterior, temos que i 1 = 0,5   A . Como o circuito está aberto, não circula qualquer corrente pelo resistor de 1 Ω , assim o terminal a - b   está em paralelo com o resistor de 12 Ω , eles possuem a mesma tensão. Portanto:

V T h = 12 i 1 - i 2 = 12 0,5 + 2,0 = 30   V

Para determinarmos R T h , temos que desligar todas as fontes independentes simultaneamente. Ou seja: substituir a fonte de tensão de 32   V por um curto-circuito e a fonte de corrente de 2   A por um circuito aberto e calcular a resistência equivalente vista pelos terminais a - b .

R T h = ( 4 12 ) + 1 = 4 × 12 4 + 12 + 1 = 4   Ω

Com esses resultados, temos o seguinte circuito equivalente de Thévenin:

Logo, a corrente consumida pela carga é:

I L = V T h R T h + R L = 30 4 + R L

Agora é só substituir o valor da carga dependendo do que se ligue na tomada.

Quando o carregador de celular é plugado: R L = 6   Ω ,

I L = 30 10 = 3   A

Quando a lâmpada é ligada: R L = 16   Ω ,

I L = 30 20 = 1,5   A

Quando o ventilador é ligado: R L = 36   Ω ,

I L = 30 40 = 0,75   A

Viu como nos ajuda?! Quanto maior for o circuito, mais interessante é utilizar esse teorema.

Então, relembrando:

O Teorema de Thévenin diz que a gente pode substituir um circuito linear de dois terminais por um circuito equivalente formado por uma fonte de tensão V T h em série com um resistor R T h .

Onde:

V T h é a tensão de circuito aberto ( v o c ) nos terminais:

R T h é a resistência equivalente vista pelos terminais a - b   quando as fontes independentes são desligadas:

Beleza, tudo lindo! Mas e se o circuito possuir fontes dependentes? O que devemos fazer?

Teorema de Thévenin com fontes dependentes

A presença de fontes dependentes só mudará o método de se obter a R T h . Assim como tínhamos visto em superposição, fontes dependentes não devem ser desligadas. A gente vai usar o seguinte procedimento:

Vamos conectar uma fonte de tensão v 0 nos terminais a - b   que fornece uma corrente i 0 , conforme a figura abaixo:

Então, pela Lei de Ohm:

R T h = v 0 i 0

Ficou embaçado? Vamos encontrar R T h nesse exemplo aqui para clarear:

Vamos conectar uma fonte de tensão v 0 que fornece a corrente i 0 :

Precisamos encontrar uma relação entre v 0 e i 0 . Para isso, vamos fazer análise de malha:

Da malha 1, temos:

2 v x - 2 i 1 - i 2 = 0

v x = i 1 - i 2

Como, v x = - 4 i 2 ,

i 1 = - 3 i 2

Da malha 2, temos:

4 i 2 + 2 i 2 - i 1 + 6 i 2 - i 3 = 0

12 i 2 - 2 i 1 - 6 i 3 = 0

Substituindo i 1 na equação acima:

18 i 2 - 6 i 3 = 0

Da malha 3, temos:

6 i 3 - i 2 + 2 i 3 + v 0 = 0

- 6 i 2 + 8 i 3 + v 0 = 0

Como, i 3 = - i 0 , temos o seguinte sistema:

18 i 2 + 6 i 0 = 0 - 6 i 2 - 8 i 0 = - v 0

Para encontrarmos uma relação entre v 0 e i 0 , precisamos que i 2 desapareça. Então, vamos multiplicar a segunda equação por 3 e somá-la com a primeira:

- 18 i 0 = - 3 v 0

v 0 i 0 = 6

Logo,

R T h = v 0 i 0 = 6   Ω

Pronto! Temos o circuito de Thévenin igual a:

Teorema de Norton

Esse teorema é muito parecido com o teorema de Thévenin, só que no Teorema de Norton substituímos o circuito linear por uma fonte de corrente I N em paralelo com um resistor R N .

Isso é basicamente uma transformação de fontes! Logo,

R T h = R N

Ou seja, a gente vai calcular R N exatamente da mesma forma que a gente calculava R T h .

  1. Para calcular a corrente de Norton pela corrente de curto-circuito, suponha que tenhamos esse exemplo:
  2. Primeiro deve-se curto-circuitar os terminais a - b :

    Quando fazemos isso, toda a corrente passa pelo curto-circuito, porque é “um caminho mais fácil” para ela passar, o que nos leva a desconsiderar o resistor de 5 Ω . Aplicando análise de malha no circuito acima:

    i 1 = 2   A  

    12 - 4 i 2 - i 1 - 8 i 2 - 8 i 2 = 0 V

    12 = 20 i 2 - 4 i 1

    Mas como i 1 = 2   A :

    20 i 2 - 4 2 = 12

    i 2 = 1   A

    Se você analisar o circuito, vai perceber que a corrente i 2 é a própria i s c . Então:

    i 2 = i s c = i N = 1   A  

  3. O outro modo de calcular a corrente de Norton é pela relação entre a transformação de fontes. Como já foi mencionado, o circuito equivalente de Norton é uma transformação de fontes do circuito equivalente de Thévenin. Então, podemos calcular a corrente de Norton a partir do V T h e do R T h = R N . Portanto:

I N = V T h R T h

Máxima transferência de potência

Para finalizar esse tópico extremamente importante, vamos entender duas aplicações muito interessantes do teorema de Thévenin.

A primeira é sobre a máxima transferência de potência de um circuito. Em muitas situações práticas a gente quer fornecer a máxima potência para uma carga. Então, a gente usa o circuito equivalente de Thévenin, porque ele substitui todo o circuito, exceto a carga, por um circuito reduzido, que é mais fácil de analisar.

Sabemos que a potência neste circuito pode ser escrita da seguinte forma:

P = R L i 2 = R L V T h R T h + R L 2