Teorema de Thévenin e Norton

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Teoria

Fala aí, tudo certo? Hoje nós vamos aprender sobre o Teorema de Thévenin e o Teorema de Norton.

Esses caras vão nos fornecer ferramentas para nos ajudar na análise de circuitos elétricos mais complexos por meio do conceito de circuitos equivalentes. Para você ter uma ideia, no final do texto nós vamos ser capazes de transformar este circuito aqui:

Circuito elétrico bem assustador!
Circuito elétrico bem assustador!

Neste circuito bem mais fofinho:

Circuito equivalente de Thévenin.
Circuito equivalente de Thévenin.

Ah, relevante: tem alguns assuntos que são bem importante você estar por dentro antes de darmos sequência nisso aqui, então vou deixar uns links que podem ser bacanas se você precisar dar uma revisada 😉👇

Teorema de Thévenin

O Teorema de Thévenin fala que um circuito linear conectado a um par de terminais qualquer pode sempre ser representado por uma fonte de tensão com resistência interna. Não entendeu? Deixa eu desenhar, imagina um sistema desse modelo:

Circuito elétrico genérico.
Circuito elétrico genérico.

O que tá dentro dessa caixa escrito “Circuito Elétrico” não interessa muito, pode ser algo parecido com aquele sistema lá do começo, por exemplo. Enfim, o Teorema tá nos falando que podemos pegar tudo o que estiver lá dentro e substituir por algo bem mais simples e equivalente, assim:

Circuito equivalente de Thévenin.
Circuito equivalente de Thévenin.

Do ponto de vista daquela resistência R em vermelho, aquela fonte (tensão equivalente) em série com a resistência (resistência equivalente) que inserimos ali vão se comportar exatamente igual a todo o circuito que tínhamos originalmente. E aí, é claro, temos que aprender como se calcula essa tensão e resistência equivalente de Thévenin 😉

Modelo Equivalente de Thévenin

Para encontrar os valores de e , vamos olhar para o exemplo seguinte e seguir um passo a passo.

Exemplo de circuito elétrico para o cálculo do circuito equivalente de Thévenin.
Exemplo de circuito elétrico para o cálculo do circuito equivalente de Thévenin.

  1. O primeiro passo é identificar para que parte será feita a análise e que parte será substituída pelo circuito equivalente de Thévenin.
    Neste caso, queremos levantar o modelo para aquela resistência ali na direita, quer dizer que todo o restante vai ser substituído.
  2. Segundo, vamos abrir o circuito lá no ponto identificado e encontrar a tensão de circuito aberto.
    Circuito aberto para o cálculo da tensão equivalente.
    Circuito aberto para o cálculo da tensão equivalente.

    Vamos começar aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões ali na primeira malha:

    Ali da segunda malha, tiramos que . Então, se substituirmos esse valor na equação anterior e resolver para , vamos encontrar o seguinte:

    Como o terminal a está aberto, não passa nenhuma corrente por aquele resistor de . Com isso, sabemos que o terminal está em paralelo com o resistor de .

    Quer dizer que eles têm a mesma tensão, então:

  3. Beleza, terceiro: vamos provocar um curto-circuito em todas as fontes independentes de tensão e abrir todas as fontes independentes de corrente. Assim poderemos calcular a resistência equivalente vista pelos terminais .
    Circuito para o cálculo da resistência equivalente.
    Circuito para o cálculo da resistência equivalente.

  4. Pra finalizar, desenhamos o circuito equivalente de Thévenin com os valores que encontramos.

Circuito equivalente de Thévenin.
Circuito equivalente de Thévenin.

Agora que temos esse circuito equivalente, podemos substituir qualquer valor em e encontrar o valor da corrente de modo muito mais fácil. Por isso, esse teorema é bem interessante quando trabalhamos com circuitos maiores.

Teorema de Norton

O Teorema de Norton fala que um circuito linear conectado a um par de terminais qualquer pode ser substituído por uma fonte de corrente em paralelo com um resistor. Ou seja, aquele mesmo circuito genérico:

Circuito elétrico genérico.
Circuito elétrico genérico.

Dessa vez vai ser trocado por algo do tipo:

Circuito equivalente de Norton.
Circuito equivalente de Norton.

E para fazer isso não tem muito segredo não. O primeiro passo é perceber uma equivalência entre os modelos de Thévenin e de Norton. Se liga, quando temos sistemas como os seguintes:

Transformação de fontes.
Transformação de fontes.

Podemos fazer um processo conhecido como transformação de fontes, que consiste em substituir uma fonte de tensão em série com uma resistência , por uma fonte de corrente em paralelo com a mesma resistência . Para isso, basta usar a Primeira Lei de Ohm.

E por que isso é relevante? Ora, não reparou como esses circuitinhos aí são os próprios modelos de Thévenin (à esquerda) e de Norton (à direita)? Isso quer dizer duas coisas:

  1. O cálculo de é exatamente igual ao cálculo de .


  2. A corrente de Norton pode ser dada por:

Então, um meio de encontrar o circuito equivalente de Norton é simplesmente encontrar o de Thévenin primeiro, e então usar a transformação de fontes para fazer a conversão. Mas, claro, se você quiser ir direto para o de Norton, tem uma outra saída.

Para encontrar a resistência é só seguir aquele mesmo passo a passo que já vimos, beleza? Mas para encontrar a corrente de Norton, podemos fazê-lo por meio da corrente de curto-circuito. Se liga, vamos supor o seguinte exemplo:

Exemplo para o cálculo da corrente de Norton.
Exemplo para o cálculo da corrente de Norton.

Primeiro, vamos provocar um curto-circuito nos terminais .

Terminais a-b em curto-circuito.
Terminais a-b em curto-circuito.

Com isso, podemos desconsiderar aquele resistor de , pois toda a corrente vai preferir passar por aquele caminho mais fácil em curto-circuito, faz sentido? Portanto, podemos fazer a seguinte análise de malha para esse circuito:

E, como :

E, olhando para o circuito, podemos perceber que a corrente é a própria corrente de curto-circuito que, por sua vez, é igual à corrente de Norton!

Beleza, agora você pode sempre escolher começar pelo modelo de Thévenin e, a partir dele, encontrar o de Norton, ou fazer o caminho oposto, dependendo do que você achar mais fácil 😁

Bora praticar com alguns exercícios pra ajudar a fixar tudo isso aí!!

Teorema de Thévenin

Teorema de Norton

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Use transformação de fontes para reduzir o circuito da figura a uma única fonte de tensão em série com um único resistor.

Passo 1

Utilizando a transformação de fontes, vamos transformar as fontes de tensão em série com os resistores em fontes de corrente em paralelo com os resistores.

Passo 2

Próximo passo é calcular os valores de I 2 e I 3 .

I 2 = 12 20 = 0,6 A

I 3 = 16 40 = 0,4 A

Passo 3

Como as três fontes de corrente estão em paralelo e no mesmo sentido, para obter a corrente total do circuito temos que somar a contribuição de cada fonte de corrente:

I T = I 1 + I 2 + I 3

I T = 3 + 0,6 + 0,4

I T = 4   A

Passo 4

Agora temos que calcular a resistência equivalente do circuito. Como todas as resistências estão em paralelo:

R e q = 1 1 10 + 1 20 + 1 40

R e q = 5,71 Ω

Passo 5

Até agora o nosso circuito está assim:

Como foi pedido um circuito equivalente com uma fonte de tensão em série com um resistor, a gente precisa fazer a transformação para o circuito com a fonte de tensão:

Logo:

v t = 5,71 * 4 = 22,84 V

Portanto:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Qual a tensão sobre o resistor 50 Ω no circuito abaixo?

Passo 1

Podemos usar o teorema de Norton para resolver o circuito acima. Aplicando o teorema ao nosso circuito, podemos substituir a fonte de corrente de 198   m A e R 1 pelo mostrado abaixo:

Passo 2

Conforme exposto

V n   =   I 1 *   R 1 =   198   *   10 - 3   *   500   =   99   V

Passo 3

Vamos agora analisar o circuito depois de aplicado o teorema de Norton. Para calcularmos V r 2 , determinamos primeiro R e q .

R e q é igual a associação série de R 1 e R 2 .

R e q   =   R 1 +   R 2 =   500   +   50   =   550   Ω

Passo 4

Vamos agora calcular a corrente que passa pelo circuito:

I   = V 1 R e q

  99 550   =   0,18   A   =   180   m A

V r 2 é igual a corrente que passa por ele multiplicado pelo valor de R 2 .

V r 2 =   0,18   *   50   =   9   V

Resposta

V r 2 =   9   V

Exercício Resolvido #3

  1. Calcule o equivalente Thévenin para o circuito externo ao resistor R para o circuito:
  2. Calcule a potência fornecida para R quando os valores de R forem 2Ω e 100Ω.

Passo 1

Primeiro vamos calcular a resistência Thévenin do circuito vista pelo resistor R . Para isso, vamos substituir as fontes de tensão independentes por curto circuitos:

Se formos medir a resistência Thévenin, percebemos que o resistor R 1 está em paralelo com o resistor R 2 :

R e q 1 = 5 * 5 5 + 5 = 2,5 Ω

Essa resistência equivalente está em série com o resistor R 3 , logo o R t h :

R t h = 2,5 + 5 = 7,5 Ω

Passo 2

Para calcular a tensão em cima do resistor R , vamos abrir o circuito e retirar o resistor e verificar qual a tensão aplicada a ele:

Como o circuito está aberto entre os pontos A e B, não circula corrente pelo resistor R 3 , assim a tensão entre os pontos A e B pode ser medida pela queda de tensão em cima do resistor R 2 .

Passo 3

Para medir a tensão em cima do resistor R 2 , podemos realizar um divisor de tensão:

V t h =   V R 2 = 20 * 5 5 + 5 = 10 V

Passo 4

Logo, podemos desenhar o circuito como:

Passo 5

Para fazer os cálculos da letra b, devemos substituir R = 2 Ω primeiro. Como R   está em série com o R t h :

R e q   = 2 + 7,5 = 9,5 Ω

A corrente que circula pelos resistores é:

I = 10 V 9,5 Ω = 1,05 A

Logo a potência dissipada é igual a:

P = R *   I 2 = 2 *   1,05 2 = 2,21 W

Passo 6

Substituindo R = 100 Ω primeiro. Como R   está em série com o R t h :

R e q   = 100 + 7,5 = 107 , 5 Ω

A corrente que circula pelos resistores é:

I = 10 V 107,5 Ω = 0,093 A

Logo a potência dissipada é igual a:

P = R *   I 2 = 100 *   0,093 2 = 0,87 W

Resposta

  1. 2,21 W   e 0,87 W  

Exercício Resolvido #4

Calcule o circuito equivalente Norton para o circuito externo ao resistor R na figura:

Passo 1

Primeiro passo é calcular a resistência Thévenin. Para isso, vamos substituir todas as fontes de tensão por curto circuitos:

Podemos ver que em relação aos terminais A e B, os resistores estão em paralelo. Logo:

R t h = 3 * 8 3 + 8 = 2,18 Ω

Passo 2

Para calcular a tensão de Thévenin, vamos manter o circuito em aberto entre os pontos A e B, enquanto retornamos com as duas fontes de tensão:

Passo 3

Podemos definir o sentido da corrente que passa pela malha externa e depois montar a equação da malha.

Pela LKT:

18 V - 3 * I - 8 * I + 12 V = 0

Assim, I = 2,73 A . Portanto,

V t h =   V A B = 18 - 3 * I = 18 - 3 * 2,73 = 9,81 V

Passo 4

Para calcular a fonte de corrente para o equivalente Norton, devemos dividir a tensão de Thévenin pela resistência Thévenin:

I N = V t h R t h = 9,81 V 2,18 Ω = 4,5 A

E sabemos que a resistência Norton é igual a resistência Thévenin:

R N = R t h = 2,18 Ω

Resposta

Podemos remontar o circuito equivalente como:

Exercício Resolvido #5

Usando o teorema de Thévenin, determine o circuito equivalente à esquerda dos terminais do circuito abaixo. Em seguida, determine I .

Passo 1

Precisamos encontrar o circuito equivalente de Thévenin para o circuito à esquerda dos terminais a - b , como no esquema abaixo:

Passo 2

Primeiro, vamos determinar R T h . Para isso, vamos desligar todas as fontes independentes e calcular a resistência equivalente vista pelos terminais a - b :

O resistor de 4 Ω está em paralelo com a associação em série dos dois resistores de 6 Ω:

R T h = ( 6 + 6 ) 4

R T h = 12 × 4 12 + 4 = 48 16

R T h = 3   Ω

Passo 3

Agora, precisamos encontrar V T h que é a tensão de circuito aberto nos terminais a - b :

Passo 4

Encontraremos o valor de V T h utilizando o princípio da superposição. Primeiro consideraremos a fonte de tensão de 12   V . Desse modo, desligaremos a fonte de corrente, ou seja, vamos substituí-la por um circuito aberto:

Agora, vamos aplicar divisor de tensão para encontrar V T h 1 :

V T h 1 = 4 6 + 6 + 4 × 12

V T h 1 = 3   V

Passo 5

Agora, vamos considerar apenas a fonte de corrente, ou seja, desligaremos a fonte de tensão. Então, vamos substituí-la por um curto-circuito:

Utilizando divisor de corrente:

i 2 = 6 6 + 6 + 4 × 2

i 2 = 0,75   A

Logo, pela lei de Ohm:

V T h 2 = 4 × 0,75 = 3   V

Passo 6

Logo, pelo princípio da superposição, V T h será a soma das contribuições das duas fontes:

V T h = V T h 1 + V T h 2

Substituindo:

V T h = 3 + 3 = 6   V

Passo 7

Logo, o circuito equivalente à esquerda dos terminais a - b , será:

Passo 8

Para finalizar, precisamos encontrar I . Para isso, vamos conectar o resistor de 1   Ω à direita dos terminai a - b :

Aplicando a lei de Ohm:

I = 6 4 = 1,5   A

Resposta

V T h = 6   V

R T h = 3   Ω

I = 1,5   A

Exercício Resolvido #6

Determine v 0 no circuito da figura usando transformação de fontes.

Passo 1

Se a gente analisar, dá pra transformar as fontes de corrente em paralelo com as resistências em fontes de tensão em série com as resistências e, então, o circuito ficará assim:

Lembrar que, após a transformação, o positivo da fonte de tensão fica no lugar da ponta da seta da fonte de corrente.

Passo 2

Agora precisamos calcular o valor de V 1 , V 2 e V 3 :

V 1 = 3 × 4 = 12 V

V 2 = 2 × 9 = 18 V

V 3 = 5 × 6 = 30 V

Passo 3

Agora aplicaremos a LTK na malha para calcularmos a corrente:

Aplicando o equacionamento de malha, com a LKT, na única malha que temos, portanto, a corrente que passar pelo resistor de 2 Ω , é a mesma que passa por todos os outros elementos do circuito.

12 + 4 i - 18 + 9 i + 5 i - 30 - 30 + 2 i = 0

20 i = 66  

i = 3,3   A  

Passo 4

Agora já temos tudo para calcular o v 0 . Só repare no seguinte: pela imagem anterior, podemos ver que, pelo sentido da corrente e pelos sinais da tensão v 0 , o resistor está no sentido oposto do que deveria estar.

Isso porque devemos ter uma queda de tensão ao passar por um resistor, mas pela tensão v 0 , vemos que a corrente está indo do para o + . Logo, v 0 está no sentido contrário e, por isso, vamos colocar um sinal negativo no cálculo dele, beleza?

De acordo com a Lei de Ohm:

v o = - 3,3 × 2 = - 6,6   V

Resposta

v o = - 6,6   V

Exercício Resolvido #7

Determinar o equivalente de Norton em relação aos terminais a - b   no circuito mostrado na figura:

Passo 1

O circuito equivalente de Norton é igual ao da figura abaixo:

Então, precisaremos calcular I N e R N .

Passo 2

Primeiro calcularemos o R N . Como ele é calculado da mesma forma que o R T h , vamos curto-circuitar a fonte de tensão e substituir a fonte de corrente por um circuito aberto:

Agora, ajeitando o circuito, ele fica assim:

Lembrando que R N é a resistência vista pelos terminais a - b . Portanto:

R N = 20 + 40 | | 12

R N = 60 × 12 60 + 12

R N = 10 Ω

Passo 3

Agora precisaremos calcular I N , que é a corrente que passa nos terminais a - b   quando este é curto-circuitado:

Passo 4

Podemos utilizar a transformação de fontes para facilitar o cálculo da corrente i s c :

De acordo com a transformação de fontes do circuito acima:

v = 40 × 2

v = 80   V

Passo 5

É importante lembrar que quando curto-circuitamos os terminais a - b a corrente passará toda pelo curto-circuito, que é um “caminho mais fácil” do que aquele com o resistor de 12   Ω . Agora temos o circuito abaixo e finalmente podemos calcular a i s c :

Aplicando a LTK ao circuito acima:

- 120 + 20 i s c + 80 + 40 i s c = 0

60 i s c =   4 0

i s c = 0,6667   A

Logo, como a corrente de Norton é igual à de curto-circuito:

I N = 0,6667   A

Resposta

Exercício Resolvido #8

Para o circuito da figura abaixo, obtenha o valor de R para a ponte de Wheatstone ficar equilibrada e a corrente que passa pelo galvanômetro quando R = 30   Ω .

Passo 1

Sabemos que quando a ponte está em equilíbrio não há a passagem de corrente pelo galvanômetro. Vamos identificar nossos resistores na ponte acima:

R 1 = 60   Ω

  R 2 = 20   Ω

  R 3 = 40   Ω

R 4 = R

Passo 2

Quando a ponte está em equilíbrio, temos a seguinte relação:

R 1 R 4 = R 2 R 3

Substituindo os valores das resistências:

60 R 4 = 20 × 40

R 4 = 13,33   Ω

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a corrente I que passa pelo galvanômetro quando a ponte está desequilibrada, com R = 30   Ω .

Passo 4

Encontraremos I , substituindo o circuito por seu equivalente de Thévenin nos terminais a - b .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a resistência de Thévenin vista pelos terminais a - b . Para isso, substituiremos a fonte de tensão por um curto-circuito.

Ajeitando o circuito para melhor visualização, observamos que os resistores de 60   Ω e 40   Ω estão em paralelo, assim como os resistores de 20   Ω e 30   Ω . E essas duas combinações em paralelo estão em série com relação aos terminais a - b .

Logo,

R T h = ( 60 40 ) + ( 20 30 )

R T h = 60 × 40 60 + 40 + 20 × 30 20 + 30

R T h = 24 + 12 = 36   Ω

Passo 6

Agora, vamos calcular a tensão de Thévenin:

Aplicando divisor de tensão, temos:

v 1 = 60 60 + 40 × 16 = 9,6   V

v 2 = 20 20 + 30 × 16 = 6,4   V

Agora, vamos aplicar a LTK:

V T h - v 2 + v 1 = 0

V T h = v 2 - v 1

Substituindo:

V T h = 6,4 - 9,6 = - 3,2   V

Passo 7

Logo, calcularemos I a partir do circuito equivalente de Thévenin abaixo:

I = - 3,2 36 + 14 = - 0,064   A

Não se espante com o sinal negativo. Ele indica que a corrente flui no sentido oposto ao estabelecido por nós, ou seja, ela flui do terminal b para o terminal a .

Resposta

I = 0,064   A

Exercício Resolvido #9

Para o circuito da figura abaixo:

  1. Obtenha o equivalente de Thévenin para os terminais a - b .
  2. Calcule a corrente quando R L = 8   Ω .
  3. Calcule R L para que a potência transferida para ele seja a máxima.
  4. Determine a potência máxima.

Passo 1

Na letra (a), precisamos encontrar o circuito equivalente de Thévenin para o circuito à esquerda dos terminais a - b , como no esquema abaixo:

Passo 2

Primeiro, vamos determinar R T h . Para isso, vamos desligar todas as fontes independentes e calcular a resistência equivalente vista pelos terminais a - b :

Ajeitando melhor o circuito, veremos que os resistores passaram a ficar associados em série:

R T h = 6 + 4 + 2

R T h = 12   Ω

Passo 3

Agora, precisamos encontrar V T h que é a tensão de circuito aberto nos terminais a - b :

Passo 4

Encontraremos o valor de V T h utilizando o princípio da superposição. Primeiro consideraremos a fonte de tensão de 20   V . Desse modo, desligaremos as duas fontes de corrente, ou seja, vamos substituí-las por um circuito aberto:

Como o circuito está aberto, não há circulação de corrente. Logo, não possui queda de tensão nos resistores e V T h 1 será o próprio valor da fonte de tensão.

V T h 1 = 20   V

Passo 5

Agora, vamos considerar apenas a fonte de corrente de 4   A , ou seja, desligaremos a fonte de tensão e a fonte de corrente de 2   A .

Como os terminais a - b estão abertos, toda a corrente fornecida pela fonte de corrente de 4   A fica circulando pela malha fechada, como na figura abaixo:

Logo, pela lei de Ohm:

V T h 2 = 2 × 4 = 8   V

Passo 6

Agora, vamos considerar apenas a fonte de corrente de 2   A , ou seja, desligaremos a fonte de tensão e a fonte de corrente de 4   A .

Pelo mesmo motivo do passo anterior, a corrente fornecida pela fonte de corrente de 2   A fica circulando pela malha fechada, como na figura abaixo:

Logo, pela lei de Ohm:

V T h 3 = 6 × 2 = 12   V

Passo 7

Logo, pelo princípio da superposição, V T h será a soma das contribuições das três fontes:

V T h = V T h 1 + V T h 2 + V T h 3

Substituindo:

V T h = 20 + 8 + 12 = 40   V

Passo 8

Logo, o circuito equivalente de Thévenin à esquerda dos terminais a - b , será:

Passo 9

Na letra (b), precisamos encontrar I quando R L = 8   Ω . Para isso, vamos conectar o resistor de 8   Ω à direita dos terminai a - b :

Aplicando a lei de Ohm:

I = 40 ( 12 + 8 ) = 2   A

Passo 10

A máxima transferência de potência ocorre quando a resistência de Thévenin é igual à resistência conectada aos terminais a - b , ou seja:

R T h = R L

Logo,

R L = 12   Ω

Passo 11

Para terminar, precisamos calcular a potência máxima, ou seja, a potência para quando R T h = R L :

Pela definição de potência:

P = R L × I 2

Substituindo:

P = 12 × 40 12 + 12 2

P = 33,33   W

Resposta

L e t r a   a :   V T h = 4 0   V ;   R T h = 12   Ω

L e t r a   b :   I = 2   A

L e t r a   c : R L = 12   Ω

L e t r a   d : P = 33,33   W

Exercício Resolvido #10

Determinar, por Thévenin, qual a tensão sobre R2 no circuito abaixo.

Passo 1

Bom, vamos lá, o que queremos? Determinar a tensão de Thévenin, retirando o componente que queremos analisar, ou seja, R 2 , e determinar a tensão no ponto.

Então, vamos a tensão V t h em cima do resistor R 2 e montar nosso novo circuito:

Passo 2

Agora, vamos achar nosso V t h . A gente sabe que as tensões V a b   vai ser igual à soma das tensões V t h , V 2 e V R 3 pois estão em paralelo.

Então

V a b = V t h + V 2 + V R 3

Mas

V a b = 90 = V 1

E

V R 3 = 0

pois não circula corrente por R 3 (circuito aberto). Portanto:

90 = V t h + 30

V t h = 60 V

Passo 3

Para calcular R t h , , substituímos as baterias por curto-circuitos e calculamos a resistência equivalente:

R t h = R 3 + ( R 1 / /   0 )

R 3   +   0 =   R 3

R t h = 15 Ω

Passo 4

Agora nós já temos o modelo equivalente de Thévenin então podemos achar a corrente na malha e a tensão em R 2

I = V t h R e q  

I = 60 15 + 25 = 1,5 A

E agora que temos a corrente que passa por R 2 , achamos V R 2

V R 2 =   R 2 I

V R 2 =   25 * 1,5 = 37,5 V

Resposta

V R 2 = 37,5 V

Exercícios de Livros Relacionados

47- Obtenha os circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito na Figura 4.114 em relação aos terminais a - b .
36- Calcule a corrente i no circuito da Figura 4.103 usando o teorema de Thévenin. (Sugestão: Determine o equivalente de Thévenin visto pelo resistor de 12Ω .)
Obtenha o equivalente de Norton em relação aos terminais a, b do circuito da Figura P4.81.
23- Consultando a Figura 4.91 , use transformação de fontes para determinar a corrente e a potência no resistor de 8Ω .
25- Determine v o no circuito da Figura 4.93 usando transformações de fontes. Verifique seu resultado usando o P S p i c e ou M u l t i S i m