Superposição

Teoria Completa

Fala aê, beleza? Bora para mais uma aula?!

A gente já viu que em circuitos mais complexos, com duas ou mais fontes independentes, uma forma de calcular uma tensão ou corrente é utilizando a análise nodal ou de malhas. Nesse tópico veremos uma outra técnica, a superposição, que nos facilita reduzindo circuitos mais complexos em circuitos simples. Mas vamos com calma, para entender bem o que está por vir, precisamos primeiro estudar a linearidade dos circuitos.

Vem comigo!

Linearidade

Vamos ver esse exemplo aqui:

No circuito abaixo, temos que calcular i 0 quando v s = 12   V e v s = 24   V .

Primeiro vamos fazer uma análise de malha pela Lei de Kirchhoff para tensões.

Para malha 1:

-   6 i 1 -   2 i 1 - 4 i 1 - i 2 - v s = 0

- 12 i 1 + 4 i 2 - v s = 0

Para malha 2:

- 8 i 2 - 4 i 2 + 3 v x + v s - 4 i 2 - i 1 = 0

4 i 1 - 16 i 2 + 3 v x + v s = 0

Pela lei de Ohm, v x = 2 i 1 , substituindo na equação acima:

10 i 1 - 16 i 2 + v s = 0

Então, temos que resolver o seguinte sistema:

- 12 i 1 + 4 i 2 - v s = 0                   ( 1 ) 10 i 1 - 16 i 2 + v s = 0             ( 2 )      

Somando as equações:

2 i 1 + 12 i 2 = 0     →   i 1 = - 6 i 2

Substituindo em 1 :

76 i 2 - v s = 0       →     i 2 = v s 76

Como, pelo circuito, i 0 = i 2 :

  • Quando v s = 12   V ,
  • i 0 = 12 76   A

  • Quando v s = 24   V ,
  • i 0 = 24 76   A

    Viu como o valor da corrente muda quando mudamos o valor da fonte de tensão? Mais do que isso, eles apresentaram uma relação linear. O valor da fonte de tensão foi dobrado e a corrente i 0 também dobra de valor.

    Ou seja, um circuito linear é como se fosse uma caixa preta, ele não possui fontes independentes dentro dele e a saída é linearmente relacionada à sua entrada.

    Na figura acima tem um esquema para você não esquecer mais. De acordo com o valor da entrada v s temos uma saída i diretamente proporcional. Por exemplo: se v s = 20   V fornece uma corrente i = 4   A , de acordo com o princípio da linearidade, se mudarmos a fonte de tensão para v s = 10   V , então a nova corrente seria i = 2   A . Dá para perceber a relação de linearidade?

    A gente só não pode dar mole em uma coisa quando usamos o princípio da linearidade: ele NÃO é aplicável à potência, pois a relação entre potência e tensão ou corrente é quadrática, portanto é não-linear.

    P = R i 2 = v 2 R

    Por exemplo, se a corrente em um resistor de 10Ω era igual a 10A, a potência consumida por ele era igual a:

    P = 10 *   10 2 = 1000 W

    Se a corrente aumentar para 20A, ou seja, estou dobrando a corrente, a potência consumida será:

    P = 10 *   2 0 2 = 4 000 W

    Ou seja, a potência não aumentou linearmente com o valor da corrente, uma vez que eu dobrei a corrente e causou uma potência sendo aumentada por quatro vezes o valor inicial.

    Princípio da superposição

    Esse princípio nos ajuda a analisar um circuito linear com mais de uma fonte independente. No princípio da superposição, a gente calcula individualmente a contribuição de cada fonte e depois somamos os resultados.

    Para aplicá-lo, a gente precisa saber duas considerações:

  1. Como eu disse, a gente considera uma fonte independente de cada vez, então precisamos desligar as outras. Isso significa que:
  2. Cada fonte de tensão deve ser substituída por 0   V (curto-circuito)
  3. Cada fonte de corrente deve ser substituída por 0   A (circuito aberto)
  4. Deixamos as fontes dependentes intactas:

Sabendo disso, vamos supor que a gente tenha o seguinte circuito e queremos encontrar a tensão v usando superposição:

No circuito existem duas fontes independentes:

Logo, a tensão v será a soma das contribuições de tensão das duas fontes individualmente, ou seja:

v = v 1 + v 2

PASSO 1:

Para obter v 1 , vamos desligar a fonte de corrente de 3   A , ou seja, substituí-la por um circuito aberto e calcular a contribuição da fonte de tensão de 6   V :

Aplicando Lei de Kirchhoff de tensões na malha, podemos encontrar a corrente da malha:

6 - 8 i 1 - 4 i 1 = 0       →       i 1 = 0,5   A

Pela lei de Ohm, vamos encontrar a queda de tensão no resistor de 4Ω:

v 1 = 4 i 1

Substituindo i 1 = 0,5 A :

v 1 = 2   V

PASSO 2:

Falta determinarmos v 2 . Para isso, vamos desligar a fonte de tensão, ou seja, substituí-la por um curto-circuito e calcular a contribuição da fonte de corrente de 3   A :

Lembra de divisor de corrente? Vamos utilizar aqui. Queremos achar i 3 , exatamente para conseguir calcular a queda de tensão v 2 no resistor de 4Ω.

i 3 = 8 4 + 8 3 = 2   A

Pela lei de Ohm:

v 2 = 4 i 3 = 8   V

v 2 = 4 * 2 = 8   V

PASSO 3:

Agora é só somar os resultados, que encontramos no passo 1 e no passo 2:

v = 2 + 8 = 10   V

Pronto! ;)

Então, relembrando, seguindo esses passos para aplicar o princípio da superposição não tem erro:

  1. Considerar apenas uma fonte independente de cada vez, desligando as demais e calcular a contribuição (saída) devido à fonte considerada.
  2. Repetir o passo 1 para as outras fontes independentes.
  3. Calcular a contribuição total somando todas as contribuições de cada fonte individualmente.

Agora é exercitar! Separei vários exercícios para você fixar bem a matéria!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Livro Sadiku, 5ª edição, p.114, problema prático 4.1

Para o circuito abaixo, determine v 0 quando i s = 30   A e i s = 45   A :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes da gente começar a usar a Superposição, precisamos entender bem essa ferramenta poderosa que se chama Linearidade! Então vamos esquentar nossos motores com essa questão que é bem simples.

Nessa questão precisamos achar uma relação entre v 0 e i s , para verificarmos a relação de linearidade do circuito.

Passo 2

Para isso, vamos utilizar o método de análise nodal:

Aplicando LCK no nó 1, a equação das correntes fica assim:

i s = i 1 + i 2

Passo 3

Escrevendo as correntes em função da tensão nodal v 1 :

i 1 = v 1 - 0 4

i 2 = v 1 - 0 12 + 8

Passo 4

Substituindo na equação das corretes:

i s = v 1 4 + v 1 20

20 i s = 6 v 1

v 1 = 20 i s 6

Passo 5

Agora, vamos utilizar divisor de tensão para calcular a tensão v 0 :

v 0 = 8 8 + 12 v 1

Substituindo v 1 :

v 0 = 8 8 + 12 20 i s 6

v 0 = 4 i s 3

Passo 6

Quando i s = 30   A , temos:

v 0 = 4 ( 30 ) 3 = 40   V

Quando i s = 45   A , temos:

v 0 = 4 45 3 = 60   V

Esses resultados comprovam a relação de linearidade, pois quando a fonte de corrente i s teve seu valor multiplicado por ( 1,5 ) , o v 0 também foi multiplicado pelo mesmo valor.

i s     →     30 × 1,5 = 45

v 0     →     40 × 1,5 = 60

Resposta

v 0 = 40   V e v 0 = 60   V

Exercício Resolvido #2

Livro Sadiku, 5ª edição, p.115, problema prático 4.2

Supondo V 0 = 1   V , use a propriedade da linearidade para calcular o valor real de V 0 no circuito abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse problema ele quer saber quanto de tensão a fonte tem que fornecer para que no resistor de 8 Ω consiga “chegar” 1V. Sendo assim, vamos encontrar o valor de entrada da fonte de tensão que produz essa saída, conforme o esquema abaixo:

Passo 2

Pela lei de Ohm:

i 0 = V 0 8 = 1 8   A

Passo 3

Como os resistores de 12Ω e 8 estão em série, a tensão nodal v 1 será:

v 1 = 12 + 8 × 1 8 = 20 8

v 1 = 2,5   V

Como a tensão nodal está em paralelo com a fonte de tensão, o valor da fonte é o próprio v 1 .

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade da linearidade:

Quando V 0 = 1   V , temos v 1 = 2,5   V . Logo, quando valor da fonte de tensão for o real, ou seja, v 1 = 40   V , então V 0 será:

2,5 1 = 40 V 0

Logo,

V 0 = 40 2,5 = 16   V

Resposta

V 0 = 16   V

Exercício Resolvido #3

Livro Sadiku, 5ª edição, p.115, exemplo 4.2

Supondo I 0 = 1   A e usando a propriedade da linearidade, encontre o valor real de I 0 no circuito abaixo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse problema ele quer saber quanto de corrente a fonte tem que fornecer para que no resistor de 5 Ω consiga “chegar” 1A. Sendo assim, vamos encontrar o valor de entrada da fonte de corrente que produz essa saída, conforme o esquema abaixo:

Passo 2

Como circuito já está preparado para ser feito por análise nodal:

Se I 0 = 1   A :

V 1 = 3 + 5 I 0 = 8   V

Como V 1 = 8   V :

I 1 = V 1 4 = 8 4 = 2   A

Passo 3

Aplicando LCK no nó de V 1 :

I 2 = I 1 + I 0

Substituindo:

I 2 = 2 + 1 = 3   A

Como,

I 2 = V 2 - V 1 2

Substituindo: V 1 = 8   V e I 2 = 3   A :

V 2 = 14   V

Passo 4

Como tem-se que:

I 3 = V 2 7

Substituindo V 2 :

I 3 = 14 7 = 2   A

Passo 5

Agora, vamos aplicar a LCK no nó de V 2 :

I 4 = I 2 + I 3

Substituindo:

I 4 = 3 + 2 = 5   A

Como I 4 é o próprio I s :

I s = 5   A

Isso mostra que supondo I 0 = 1   A obteremos uma entrada I s = 5   A . Logo, utilizando a propriedade da linearidade, quando a entrada for o valor real da fonte de corrente, ou seja, I s = 15   A , a saída I 0 resultará no valor real de 3   A .

I 0 = 1   A       →       I s = 5   A

Multiplicando por três:

I 0 = 3   A       →       I s = 15   A

Resposta

I 0 = 3   A

Exercício Resolvido #4

Livro Sadiku, 5ª edição, p.117, problema prático 4.3

Usando o teorema da superposição, determine v 0 no circuito abaixo:

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Passo 1

Precisamos encontrar v 0 utilizando o princípio da superposição. No circuito existem duas fontes independentes.

Logo, a tensão v 0 será a soma das contribuições de tensão das duas fontes individualmente, ou seja:

v 0 = v 1 + v 2

Passo 2

Primeiro, vamos determina v 1 . Para isso, vamos desconsiderar a fonte de tensão, ou seja, substituí-la por um curto-circuito:

Passo 3

Agora, vamos calcular a contribuição da fonte de corrente de 5   A :

Usando divisor de corrente:

i 1 = 5 2 + 3 + 5 × 5

i 1 = 2,5   A

Logo, pela lei de Ohm:

v 1 = 2 i 1 = 2 × 2,5

v 1 = 5   V

Passo 4

Agora, precisamos calcular v 2 . Então, vamos desconsiderar a fonte de corrente, ou seja, substituí-la por um circuito aberto:

Como os resistores estão em série, vamos calcular a contribuição da fonte de 12   V utilizando divisor de tensão:

v 2 = 2 2 + ( 3 + 5 ) × 12

v 2 = 2,4   V

Passo 5

Para terminar, precisamos somar as contribuições de cada fonte:

v 0 = v 1 + v 2

v 0 = 5 + 2,4 = 7,4   V

Resposta

v 0 = 7,4   V

Exercício Resolvido #5

Introdução à análise de circuitos – Robert L. Boylestad – Ed. 12 – Exercício 9.4

Usando a superposição, calcule a corrente I através da fonte de 24Vna figura:

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Passo 1

Primeiro vamos analisar o efeito da fonte de tensão E 1 , para isso vamos substituir a fonte de tensão E 2 por um curto circuito:

Passo 2

Vamos fazer a resistência equivalente entre R 3 e R 4 :

R = 15 * 10 15 + 10 = 6 Ω

Passo 3

Para calcular a corrente total, devemos fazer a resistência equivalente do circuito completo.

Primeiro R 2 está em paralelo com R :

R = 6 * 9 6 + 9 = 3,6 Ω

Depois, essa resistência está em série com R 1   :

R T = 18   + 3,6 = 21,6 Ω

A corrente total será:

I = 42 V 21,6 Ω = 1,94 A

Passo 4

Podemos perceber que essa corrente total se divide entre os resistores R e R 2 :

I 1 = 1 , 9 4 * 9 9 + 6 = 1,16 A

Passo 5

Agora vamos analisar o efeito da fonte de tensão E 2 , para isso vamos substituir a fonte de tensão E 1 por um curto circuito:

Passo 6

Para calcular a corrente que passa pela fonte de 24V, devemos calcular a corrente total que sai da fonte e circula pelos resistores.

Primeiro, vamos calcular a resistência total. Inicialmente percebemos que os resistores R 1 e R 2 estão em paralelo, assim como os resistores R 3 e R 4 .

R 5 = 9 * 18 9 + 18 = 6 Ω

R 6 = 15 * 10 15 + 10 = 6 Ω

R T = 6 Ω + 6 Ω = 12 Ω

I 2 = 24 V 12 Ω = 2 A

Passo 7

Assim, a corrente total será:

I =   I 1 +   I 2 = 1 , 16 A + 2 A = 3,16 A

Resposta

A corrente que passa pela fonte de 24V será igual a 3,16A.

Exercício Resolvido #6

Introdução à análise de circuitos – Robert L. Boylestad – Ed. 12 – Exercício 9.5

Usando a superposição, calcule a tensão V 2 para o circuito na figura:

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Passo 1

O primeiro passo é analisar o efeito da fonte de tensão E , enquanto substituímos a fonte de corrente I por um circuito aberto.

Percebemos que circula uma corrente I que gera a queda de tensão V R 2 , podemos encontrar V R 2 através do divisor de tensão:

V R 2 = 36 * 6,8 k Ω 12 k Ω + 6,8 k Ω =   13,02 V

Passo 2

O segundo passo é analisar o efeito da fonte de corrente I, enquanto substituímos a fonte de tensão E por um curto circuito.

Passo 3

Devemos realizar o divisor de corrente entre os resistores R 1 e R 2 :

I 2 = 9 m A * 12 k Ω 12 k Ω   + 6,8 k Ω = 5,74 m A

Para calcular V R 2 :

V R 2 =   I 2 *   R 2 = 5,74 m A * 6,8 k Ω

V R 2 = 39,03 V

Passo 4

Somando as duas contribuições, uma da fonte de tensão e outra da fonte de corrente:

V R 2 = 13,02 + 39,03 = 52,05 V

Resposta

V R 2 = 52,05 V

Exercício Resolvido #7

Introdução à análise de circuitos – Robert L. Boylestad – Ed. 12 – Exercício 9.6

Usando a superposição, calcule a a corrente através de R 1 para o circuito na figura:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro vamos analisar o efeito da fonte de tensão E , enquanto substituímos a fonte de corrente I por um circuito aberto:

Passo 2

Para encontrar I 1 , vamos calcular a resistência equivalente total. Vamos que R 1 está em série com R 2 :

R = 2,2 k + 3,3 k = 5,5 k Ω

Essa resistência está me paralelo com R 4 :

R =   5,5 k * 4,7 k 5,5 k + 4,7 k = 2,5 3 k Ω