Teoria Completa
Fala aê, beleza? Bora para mais uma aula?!
A gente já viu que em circuitos mais complexos, com duas ou mais fontes independentes, uma forma de calcular uma tensão ou corrente é utilizando a análise nodal ou de malhas. Nesse tópico veremos uma outra técnica, a superposição, que nos facilita reduzindo circuitos mais complexos em circuitos simples. Mas vamos com calma, para entender bem o que está por vir, precisamos primeiro estudar a linearidade dos circuitos.
Vem comigo!
Linearidade
Vamos ver esse exemplo aqui:
No circuito abaixo, temos que calcular quando e .
Primeiro vamos fazer uma análise de malha pela Lei de Kirchhoff para tensões.
Para malha 1:
Para malha 2:
Pela lei de Ohm, , substituindo na equação acima:
Então, temos que resolver o seguinte sistema:
Somando as equações:
Substituindo em :
Como, pelo circuito, :
- Quando ,
- Quando
Viu como o valor da corrente muda quando mudamos o valor da fonte de tensão? Mais do que isso, eles apresentaram uma relação linear. O valor da fonte de tensão foi dobrado e a corrente também dobra de valor.
Ou seja, um circuito linear é como se fosse uma caixa preta, ele não possui fontes independentes dentro dele e a saída é linearmente relacionada à sua entrada.
Na figura acima tem um esquema para você não esquecer mais. De acordo com o valor da entrada temos uma saída diretamente proporcional. Por exemplo: se fornece uma corrente , de acordo com o princípio da linearidade, se mudarmos a fonte de tensão para , então a nova corrente seria Dá para perceber a relação de linearidade?
A gente só não pode dar mole em uma coisa quando usamos o princípio da linearidade: ele NÃO é aplicável à potência, pois a relação entre potência e tensão ou corrente é quadrática, portanto é não-linear.
Por exemplo, se a corrente em um resistor de 10Ω era igual a 10A, a potência consumida por ele era igual a:
Se a corrente aumentar para 20A, ou seja, estou dobrando a corrente, a potência consumida será:
Ou seja, a potência não aumentou linearmente com o valor da corrente, uma vez que eu dobrei a corrente e causou uma potência sendo aumentada por quatro vezes o valor inicial.
Princípio da superposição
Esse princípio nos ajuda a analisar um circuito linear com mais de uma fonte independente. No princípio da superposição, a gente calcula individualmente a contribuição de cada fonte e depois somamos os resultados.
Para aplicá-lo, a gente precisa saber duas considerações:
- Como eu disse, a gente considera uma fonte independente de cada vez, então precisamos desligar as outras. Isso significa que:
- Cada fonte de tensão deve ser substituída por (curto-circuito)
- Cada fonte de corrente deve ser substituída por (circuito aberto)
- Deixamos as fontes dependentes intactas:
Sabendo disso, vamos supor que a gente tenha o seguinte circuito e queremos encontrar a tensão usando superposição:
No circuito existem duas fontes independentes:
Logo, a tensão será a soma das contribuições de tensão das duas fontes individualmente, ou seja:
PASSO 1:
Para obter , vamos desligar a fonte de corrente de , ou seja, substituí-la por um circuito aberto e calcular a contribuição da fonte de tensão de :
Aplicando Lei de Kirchhoff de tensões na malha, podemos encontrar a corrente da malha:
Pela lei de Ohm, vamos encontrar a queda de tensão no resistor de 4Ω:
Substituindo :
PASSO 2:
Falta determinarmos . Para isso, vamos desligar a fonte de tensão, ou seja, substituí-la por um curto-circuito e calcular a contribuição da fonte de corrente de :
Lembra de divisor de corrente? Vamos utilizar aqui. Queremos achar , exatamente para conseguir calcular a queda de tensão no resistor de 4Ω.
Pela lei de Ohm:
PASSO 3:
Agora é só somar os resultados, que encontramos no passo 1 e no passo 2:
Pronto! ;)
Então, relembrando, seguindo esses passos para aplicar o princípio da superposição não tem erro:
- Considerar apenas uma fonte independente de cada vez, desligando as demais e calcular a contribuição (saída) devido à fonte considerada.
- Repetir o passo 1 para as outras fontes independentes.
- Calcular a contribuição total somando todas as contribuições de cada fonte individualmente.
Agora é exercitar! Separei vários exercícios para você fixar bem a matéria!
Exercício Resolvido #1
Para o circuito abaixo, determine quando e :
Passo 1
Antes da gente começar a usar a Superposição, precisamos entender bem essa ferramenta poderosa que se chama Linearidade! Então vamos esquentar nossos motores com essa questão que é bem simples.
Nessa questão precisamos achar uma relação entre e , para verificarmos a relação de linearidade do circuito.
Passo 2
Para isso, vamos utilizar o método de análise nodal:
Aplicando LCK no nó 1, a equação das correntes fica assim:
Passo 3
Escrevendo as correntes em função da tensão nodal :
Passo 4
Substituindo na equação das corretes:
Passo 5
Agora, vamos utilizar divisor de tensão para calcular a tensão :
Substituindo :
Passo 6
Quando , temos:
Quando , temos:
Esses resultados comprovam a relação de linearidade, pois quando a fonte de corrente teve seu valor multiplicado por , o também foi multiplicado pelo mesmo valor.
Resposta
e
Exercício Resolvido #2
Supondo , use a propriedade da linearidade para calcular o valor real de no circuito abaixo:
Passo 1
Nesse problema ele quer saber quanto de tensão a fonte tem que fornecer para que no resistor de consiga “chegar” 1V. Sendo assim, vamos encontrar o valor de entrada da fonte de tensão que produz essa saída, conforme o esquema abaixo:
Passo 2
Pela lei de Ohm:
Passo 3
Como os resistores de 12Ω e 8 estão em série, a tensão nodal será:
Como a tensão nodal está em paralelo com a fonte de tensão, o valor da fonte é o próprio .
Passo 4
Agora, vamos usar a propriedade da linearidade:
Quando , temos . Logo, quando valor da fonte de tensão for o real, ou seja, , então será:
Logo,
Resposta
Exercício Resolvido #3
Supondo e usando a propriedade da linearidade, encontre o valor real de no circuito abaixo:
Passo 1
Nesse problema ele quer saber quanto de corrente a fonte tem que fornecer para que no resistor de consiga “chegar” 1A. Sendo assim, vamos encontrar o valor de entrada da fonte de corrente que produz essa saída, conforme o esquema abaixo:
Passo 2
Como circuito já está preparado para ser feito por análise nodal:
Se :
Como :
Passo 3
Aplicando LCK no nó de :
Substituindo:
Como,
Substituindo: e :
Passo 4
Como tem-se que:
Substituindo :
Passo 5
Agora, vamos aplicar a LCK no nó de :
Substituindo:
Como é o próprio :
Isso mostra que supondo obteremos uma entrada . Logo, utilizando a propriedade da linearidade, quando a entrada for o valor real da fonte de corrente, ou seja, , a saída resultará no valor real de .
Multiplicando por três:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Usando o teorema da superposição, determine no circuito abaixo:
Passo 1
Precisamos encontrar utilizando o princípio da superposição. No circuito existem duas fontes independentes.
Logo, a tensão será a soma das contribuições de tensão das duas fontes individualmente, ou seja:
Passo 2
Primeiro, vamos determina . Para isso, vamos desconsiderar a fonte de tensão, ou seja, substituí-la por um curto-circuito:
Passo 3
Agora, vamos calcular a contribuição da fonte de corrente de :
Usando divisor de corrente:
Logo, pela lei de Ohm:
Passo 4
Agora, precisamos calcular . Então, vamos desconsiderar a fonte de corrente, ou seja, substituí-la por um circuito aberto:
Como os resistores estão em série, vamos calcular a contribuição da fonte de utilizando divisor de tensão:
Passo 5
Para terminar, precisamos somar as contribuições de cada fonte:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Usando a superposição, calcule a corrente através da fonte de 24Vna figura:
Passo 1
Primeiro vamos analisar o efeito da fonte de tensão , para isso vamos substituir a fonte de tensão por um curto circuito:
Passo 2
Vamos fazer a resistência equivalente entre e :
Passo 3
Para calcular a corrente total, devemos fazer a resistência equivalente do circuito completo.
Primeiro está em paralelo com :
Depois, essa resistência está em série com :
A corrente total será:
Passo 4
Podemos perceber que essa corrente total se divide entre os resistores e :
Passo 5
Agora vamos analisar o efeito da fonte de tensão , para isso vamos substituir a fonte de tensão por um curto circuito:
Passo 6
Para calcular a corrente que passa pela fonte de 24V, devemos calcular a corrente total que sai da fonte e circula pelos resistores.
Primeiro, vamos calcular a resistência total. Inicialmente percebemos que os resistores e estão em paralelo, assim como os resistores e .
Passo 7
Assim, a corrente total será:
Resposta
A corrente que passa pela fonte de 24V será igual a 3,16A.
Exercício Resolvido #6
Usando a superposição, calcule a tensão para o circuito na figura:
Passo 1
O primeiro passo é analisar o efeito da fonte de tensão , enquanto substituímos a fonte de corrente por um circuito aberto.
Percebemos que circula uma corrente que gera a queda de tensão , podemos encontrar através do divisor de tensão:
Passo 2
O segundo passo é analisar o efeito da fonte de corrente I, enquanto substituímos a fonte de tensão por um curto circuito.
Passo 3
Devemos realizar o divisor de corrente entre os resistores e :
Para calcular :
Passo 4
Somando as duas contribuições, uma da fonte de tensão e outra da fonte de corrente:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Usando a superposição, calcule a a corrente através de para o circuito na figura:
Passo 1
Primeiro vamos analisar o efeito da fonte de tensão , enquanto substituímos a fonte de corrente por um circuito aberto:
Passo 2
Para encontrar , vamos calcular a resistência equivalente total. Vamos que está em série com :
Essa resistência está me paralelo com :