Enunciado

22. Determine v_1 e v_2 para o circuito da Figura 3.71

Passo 1

No circuito acima, os nós já estão identificados. O nó inferior está ligado ao terra com um potencial nulo.

E com isso vamos dar início a nossa linha de pensamento.

Passo 2

Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a L K C :

Com isso, aplicando a L K C para o nó 1 , temos que:

sum i_ e n t r a m = sum i_ s a e m

i_0 = i_1 + i_2 + 3 A

E depois, aplicando a L K C para o nó 2 , chegamos à:

sum i_ e n t r a m = sum i_ s a e m

3 A + i_2 = i_3

Passo 3

Nesse P a s s o , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i_0 = (12 - v_1)/(2)

i_1 = (v_1)/(4)

i_2 = (v_1 - v_2)/(8)

i_3 = (v_2 + 5 v_0)/(1)

E substituindo em seguida essas correntes, nas duas relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

{[[(12 - v_1)/(2) = (v_1)/(4) + (v_1 - v_2)/(8) + 3 ( I )],[3 + (v_1 - v_2)/(8) = (v_2 + 5 v_0)/(1) (I I)]])

Passo 4

Continuando nossa tarefa, bora dar uma simplificada nesse sistema:

{[[(12 - v_1)/(2) = (v_1)/(4) + (v_1 - v_2)/(8) + 3 ( I )],[3 + (v_1 - v_2)/(8) = (v_2 + 5 v_0)/(1) (I I)]])

{[[(4 ( 12 - v_1 ))/(8) = (2 v_1)/(8) + (v_1 - v_2)/(8) + (24)/(8) ( I )],[(24)/(8) + (v_1 - v_2)/(8) = (8 ( v_2 + 5 v_0 ))/(8) (I I)]])

De modo a ficarmos com:

{[[- 7 v_1 + v_2 = - 24],[v_1 - 9 v_2 = 40 v_0 - 24]])

Passo 5

Agora, bora dar uma olhada de novo no nosso circuito:

Podemos ver nele, que:

12 - v_0 = v_1

v_0 = 12 - v_1

Desse modo, nossas equações anteriores vão ficar assim:

{[[- 7 v_1 + v_2 = - 24],[v_1 - 9 v_2 = 40 ( 12 - v_1 ) - 24]])

{[[- 7 v_1 + v_2 = - 24],[41 v_1 - 9 v_2 = 456]])

Multiplicando essa primeira equação por 9 :

{[[- 63 v_1 + 9 v_2 = - 216],[41 v_1 - 9 v_2 = 456]])

E depois somando com a segunda, obtemos que:

- 22 v_1 = 240

v_1 = - (240)/(22) V

v_1 = - 10,91 V

E em seguida, substituindo esse valor obtido na a equação ( I ) , encontramos a outra tensão:

- 7 v_1 + v_2 = - 24

v_2 = 7 v_1 - 24

v_2 = 7 * (- 10,91) V - 24 V

v_2 = - 100,36 V

Pronto! Missão cumprida com sucesso! VERY GOOD!

Resposta

v_1 = - 10,91 V

v_2 = - 100,36 V

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