Enunciado

29. Use o Matlab para determinar as tensões nodais no circuito da Figura 3.74

Passo 1

No circuito acima, temos cinco nós. Só que dessa vez, temos que há duas conexões com a terra, com um potencial nulo.

E com isso vamos dar início a nossa linha de pensamento.

Passo 2

Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a L K C :

Com isso, aplicando a L K C para o nó 1 , temos que:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 0 = i 3 + 5 + i 1

E depois, aplicando a L K C para o nó 2 , chegamos à:

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 3 + i 4 = i 7

E agora, a L K C para o nó 3 :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 7 + i 2 + 6 = 0

E por último, a L K C para o nó 4 :

∑ i   e n t r a m = ∑ i   s a e m

i 1 + 2 + i 5 = i 2

Passo 3

Nesse P a s s o , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:

i 0 = - 2 V 1

i 1 =   V 1 -   V 4

i 2 =   V 4 -   V 3

i 3 =   V 1 -   V 2

i 4 = - 2 V 2

i 5 = - 3 V 4

i 7 = 4 (   V 2 -   V 3 )

E substituindo em seguida essas correntes, nas quatro relações que obtivemos do L K C , chegamos ao seguinte sistema de equações:

- 2 V 1 =   V 1 -   V 2 + 5 +   V 1 -   V 4   ( I )   V 1 -   V 2 - 2 V 2 = 4 V 2 - 4 V 3   I I 4 V 2 - 4 V 3 +   V 4 -   V 3 + 6 = 0   I I I   V 1 -   V 4 + 2 - 3 V 4 =   V 4 -   V 3   ( I V )

Passo 4

Agora, bora dar uma simplificada nesse sistema:

4 V 1 -   V 2 -   V 4 = - 5   ( I ) - V 1 +   7 V 2 - 4 V 3 = 0   I I - 4 V 2 + 5 V 3 - V 4 = 6   I I I - V 1 - V 3 - 5 V 4 = 2   ( I V )

Passo 5

E vamos tratar de resolver esse sistema com quatro equações e quatro incógnitas, né? Vai ser complicado, mas vamos conseguir.

Para fazer isso, vamos ter que usar uma ferramenta comum em Álgebra Linear, o escalonamento pelo método de G a u s s .

A eliminação de Gauss, ou método de escalonamento, é um algoritmo para se resolver sistemas de equações lineares Este método consiste em aplicar sucessivas operações elementares num sistema linear, para o transformar num sistema de mais fácil resolução, que apresenta exatamente as mesmas soluções que o original.

Uma matriz retangular, que é o nosso caso está na sua forma escalonada ou na forma de escada por linhas quando satisfaz as seguintes condições:

Todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de zeros.

O pivô de cada linha está numa coluna à direita do pivô da linha acima.

Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero.

Bem! Vamos pro que interessa! Esse sistema de quatro equações e quatro incógnitas do P a s s o   4 , pode ser escrito como:

4 - 1 0 - 1 - 1 7 - 4 0 0 - 4 5 - 1 - 1 0 - 1 - 5 ⋅ V 1 V 2 V 3 V 4 = - 5 0 6 2

Tudo que temos que fazer então, é simplicar isso aí. Para isso, vamos recorrer ao escalonamento da seguinte matriz!

4 - 1 0 - 1 - 1 7 - 4 0 0 - 4 5 - 1 - 1 0 - 1 5 - 5 0 6 2

Essa é a chamada matriz estendida! Se você reparar bem, no lado esquerdo dela temos os coeficientes que acompanham as incógnitas (tensões nodais) e no lado direito, o resultado de cada equação.

Passo 6

O que nós queremos é simplificar ao máximo essa última matriz aí, de forma que satisfaça as condições que escrevemos no P a s s o   5 . Para fazer essa simplificação, vamos manipular o sistema através de determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema de forma a deixa-la o mais triangular possível (chamada de matriz escalonada do sistema).

Naturalmente estas operações elementares devem preservar a solução do sistema e consistem em:

multiplicação de um linha por uma constante não nula

substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra linha.

permutação de duas linhas.

Chamaremos L de linha e C de coluna. L 1 é a linha 1 e C 1 é coluna 1 , por exemplo:

Vamos lá!

4 - 1 0 - 1 - 1 7 - 4 0 0 - 4 5 - 1 - 1 0 - 1 5 - 5 0 6 2 →   L 2 = L 2 + 1 4 L 1 =

= 4 - 1 0 - 1 0 27 4 - 4 - 1 4 0 - 4 5 - 1 - 1 0 - 1 5 - 5 - 5 4 6 2 →   L 4 = L 4 + 1 4 L 1 =

= 4 - 1 0 - 1 0 27 4 - 4 - 1 4 0 - 4 5 - 1 0 - 1 4 - 1 19 4 - 5 - 5 4 6 3 4 →   L 3 = L 3 + 16 27 L 2 =

= 4 - 1 0 - 1 0 27 4 - 4 - 1 4 0 0 71 27 - 31 27 0 - 1 4 - 1 19 4 - 5 - 5 4 142 27 3 4 →   L 4 = L 4 + 1 27 L 2 =

= 4 - 1 0 - 1 0 27 4 - 4 - 1 4 0 0 71 27 - 31 27 0 0 - 31 27 128 27 - 5 - 5 4 142 27 19 27 →   L 4 = L 4 + 31 71 L 3 =

= 4 - 1 0 - 1 0 27 4 - 4 - 1 4 0 0 71 27 - 31 27 0 0 0 301 71 - 5 - 5 4 142 27 3

Pronto! Viu só como essa ferramenta foi útil! O sistema de quatro equações e quatro incógnitas de antes, vai ficar assim:

4 - 1 0 - 1 0 27 4 - 4 - 1 4 0 0 71 27 - 31 27 0 0 0 - 409 71 - 5 - 5 4 142 27 3 ⋅ V 1 V 2 V 3 V 4 = - 5 - 5 4 142 27 3

4 V 1 -   V 2 -   V 4 = - 5   ( I ) 27 4 V 2 -   4 V 3 - 1 4 V 4 = - 5 4   I I 71 27 V 3 - 31 27 V 4 = 142 27   I I I 301 71 V 4 = 3   ( I V )

Agora ficou tudo mais fácil! Peguemos a equação ( I V ) :

301 71 V 4 = 3

V 4 = 71 ⋅ 3 301

V 4 = 0,7076   V

E agora, a equação ( I I I ) , uma vez que já sabemos o valor de V 4 :

71 V 3 - 31 V 4 = 142

71 V 3 = 31 ⋅ 213 301 + 142

71 V 3 = 49345 8127

V 3 = 695 301   V

V 3 = 2,309   V

Depois, a equação ( I I ) , onde já sabemos o valor de V 4 e V 3 :

27 4 V 2 -   4 V 3 - 1 4 V 4 = - 5 4

27 4 V 2 - 4 ⋅ 695 301 - 1 4 ⋅ 213 301 = - 5 4

27 4 V 2 = 351 43

V 2 = 351 ⋅ 4 27 ⋅ 43   V

V 2 = 1,209   V

Por último, a equação ( I ) , dado que já sabemos o valor de V 4 , V 3 e V 2 :

4 V 1 -   V 2 -   V 4 = - 5

4 V 1 - 1,209 - 0,7076   = - 5

4 V 1 = - 3,0834

V 1 = - 3,0834 4   V

V 1 = - 0,7708   V

Obtemos nossas respostas!

Viu só! Nem precisamos de M a t l a b !

Resposta

V 1 = - 0,7708   V

V 2 = 1,209   V

V 3 = 2,309   V

V 4 = 0,7076   V

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

23. Use a análise nodal para determinar V 0 no circuito mostrado na figura 3.72 .
24. Use a análise nodal e o Matlab para determinar V 0 no circuito da Figura 3.73
26. Calcule as tensões nodais v 1 , v 2 e v 3 no circuito da Figura 3.75
25. Use a análise nodal juntamente com o Matlab para determinar as tensões nos nós da Figura 3.74
27. Use a análise nodal para determinar as tensões nodais v 1 , v 2 e v 3 no circuito da Figura 3.75