Enunciado

23- Considere a Figura 17.61 e elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor como determinar as série de Fourier de uma forma de onda periódica.

Passo 1

Vamos considerar t 1 = π e f 0 = 1 . E queremos encontrar a forma da série de Fourier dessa onda triangular aí.

Essa onda é tem duas simetrias, a de meia onda, pois a mesma parcela em baixo da reta do tempo encontra-se invertida na parte de cima e é uma função ímpar também, pois:

f 1 = - f ( - 1 )

Então por ser ímpar:

a n = 0

E por ser simetrica de meia onda:

a o = 0

Então basta encontrar b n sabendo que no período de - π até π a onda tem o seguinte comportamento:

f t = t π ; - π < t < π

Pois quando t = π ; f t = 1

E como o período dessa onda é de 2 π logo :

ω = 2 π T = 2 π 2 π = 1

Não escolhi o valor de t 1 a toa hahah

Passo 2

Então podemos calcular b n da seguinte maneira:

b n = 2 2 π ∫ - π π t π sin ⁡ n t d t

b n = 2 π 2 ∫ 0 π t sin ⁡ n t d t

Essa integral é uma integral que se faz por partes e sabemos que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

u = t → d u = d t

d v = sin ⁡ n t → v = - 1 n c o s ⁡ ( n t )

Então:

∫ t sin ⁡ n t = - t n cos ⁡ n t + 1 n ∫ cos ⁡ n t

∫ t   s i n ⁡ ( n t ) = - t n cos ⁡ n t + 1 n 2 s i n ⁡ ( n t )

Então:

b n = 2 π 2 - t n cos ⁡ n t + 1 n 2 sin ⁡ n t 0 π

b n = 2 π 2 - π n cos ⁡ π n + 1 n 2 sin ⁡ π n

Onde sin ⁡ π t = 0 para qualquer n inteiro:

Então:

b n = - 2 n π c o s ⁡ ( π n )

Só que cos ⁡ π n = - 1 n , já que cada número inteiro de n faz essa função somente mudar o sinal então com o sinal negativo de 2 / n π teremos:

b n = - 1 n + 1 × 2 n π

Passo 3

Como b n é a parte que se liga com o seno então temos a seguinte série de Fourier:

b n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 × 2 n π sin ⁡ n t

E isso nos dá o seguinte gráfico.

Resposta

b n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 × 2 n π sin ⁡ n t

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