Enunciado

28- Obtenha a série de Fourier trigonométrica para a forma de onda de tensão mostrada na Figura 17.66 .

Passo 1

O período dessa onda é de:

T = 2   s

Então o ω será:

ω = 2 π 2 = π

E podemos ver que essa onda tem uma simetria de meia onda então:

a o = 0

E por ter simetria de meia onda, nós devemos utilizar somente os pontos ímpares, além de utilizar meio período só no caso vamos usar o intervalo:

v t = 2 - 2 t ; 0 < t < 1

Passo 2

Então a n será:

a n = 4 2 ∫ 0 1 2 - 2 t cos ⁡ n π t d t

A integral por partes de t   c o s ⁡ ( n π t ) será:

∫ t cos ⁡ n π t d t = 1 π 2 n 2 cos ⁡ π n t + t π n s i n ⁡ ( π n t )

a n = 4 1 n π sin ⁡ n π t 0 1 - 1 π 2 n 2 cos ⁡ π n t + t π n sin ⁡ π n t 0 1

a n = 4 1 n π sin ⁡ n π - 1 π 2 n 2 cos ⁡ π n - 1 π n sin ⁡ π n + 1 π 2 n 2

Onde sin ⁡ n π = 0 para qualquer n e cos ⁡ π n = - 1 n

a n = 4 π 2 n 2 + 4 π 2 n 2 - 1 n + 1

Para n ímpar temos:

a n = 8 π 2 n 2

Passo 3

E b n será:

b n = 8 2 ∫ 0 1 1 - t s in ⁡ n π t d t

Dessa forma:

b n = 4 ∫ 0 1 sin ⁡ n π t d t - ∫ 0 1 t sin ⁡ n π t d t

Onde a integral por partes de t   s i n ⁡ ( n π t ) será:

∫ t sin ⁡ n π t d t = 1 π 2 n 2 sin ⁡ π n t - t π n c o s ⁡ ( π n t )

b n = 4 - 1 n π cos ⁡ n π t 0 1 + - 1 π 2 n 2 sin ⁡ π n t + t π n cos ⁡ π n t 0 1

b n = 4 - 1 π n cos ⁡ n π + 1 n π + 1 π n cos ⁡ π n

Como cos ⁡ π n = - 1 n teremos

b n = - 4 π n - 1 n + 4 π n - 1 n + 4 π n

b n = 4 n π

Com somente n ímpar.

Então a equação de Fourier dessa função fica:

v t = ∑ k = 1 ∞ 8 π 2 n 2 cos ⁡ n π t + 4 n π sin ⁡ n π t , n = 2 k - 1

Nos dando o seguinte gráfico.

https://www.desmos.com/calculator/a7guojjpt1

Resposta

v t = ∑ k = 1 ∞ 8 π 2 n 2 cos ⁡ n π t + 4 n π sin ⁡ n π t , n = 2 k - 1

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