Enunciado

27- Para a forma de onda mostrada na Figura 17.65 a seguir,

( a ) Especifique o tipo de simetria que ela possui

( b ) Calcule a 3 e b 3

( c ) Determine o valor R M S usando os cinco primeiros harmônicos não nulos

Passo 1

Pela onda a cima da linha horizontal ser invertida com a parte de baixo então a onda tem simetria de meia onda. Nos dando:

a o = 0

E por f 0.5 = - f ( 0.5 ) por exemplo nós conseguimos ver uma simetria de função ímpar, ou seja

a 1 = a 2 = a 3 = … = a n = 0

Agora utilizando somente metade do período dessa onda nós temos:

f t = t ,   0 < t < 1

Onde T = 3 - - 1 = 4 ; ω = 2 π 4 = π 2

Passo 2

Dessa forma o valor de b n será:

b n = 4 4 ∫ 0 1 t sin ⁡ n π t 2 d t

Fazendo a integração por partes temos:

∫ t sin ⁡ n π t 2 d t = 4 n 2 π 2 sin ⁡ n π t 2 - 2 t n π cos ⁡ n π t 2

b n = 4 n 2 π 2 sin ⁡ n π t 2 - 2 t n π cos ⁡ n π t 2 0 1

Com sin ⁡ 0 = 0 então temos o seguinte resultado ao aplicar o intervalo:

b n = 4 n 2 π 2 sin ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π 2

Onde cos ⁡ n π 2 = 0 para qualquer n inteiro e sin ⁡ n π 2 = - 1 n + 1 nós teremos para n ímpar:

b n = 4 n 2 π 2 - 1 n + 1

E para n par:

b n = - 2 n π - 1 n

Pois cos ⁡ n π = - 1 n .

Então temos que utilizar os valores ímpares e pares de n .

Portanto b 3 será:

b 3 = - 4 π 2 × 3 2 - 1 4 = - 0.04503

Plotando o gráfico da série de Fourier :

f t = ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 π 2 sin ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π 2 sin ⁡ n π t 2

Nós vamos ter:

Passo 3

O valor R M S   de uma série de Fourier é descoberto fazendo:

f R M S = a o 2 + a n 2 + b n 2 2 2

Onde a o é a parte D C (contínua) e a n e b n é a parte A C (alternada)

Como não temos a o e nem a n então vamos calcular os cinco termos de b n .

b 1 = - 4 1 2 π 2 - 1 1 + 1 = - 0.40528

b 2 = - 2 2 π - 1 2 = - 0.31831

b 3 = - 4 3 2 π 2 - 1 3 + 1 = - 0.04503

b 4 = - 2 4 π - 1 4 = - 0.159155

b 5 = - 4 5 2 π 2 - 1 5 + 1 = - 0.01621

Logo:

f R M S = 1 2 0.40528 2 + 0.31831 2 + 0.04503 2 + 0.159155 2 + 0.01621 2 = 0.3829

Resposta

a )   S i m e t r i a   d e   m e i a   o n d a   e   f u n ç ã o   í m p a r

b )   a 3 = 0 ; b 3 = - 0 . 04503  

c )   f R M S = 0.3829

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