Enunciado

39. Determine I_1 , I_2 , I_3 e I_x no circuito da figura 10.84

Passo 1

Fala galerinha! Bora pra mais um probleminha sobre análise de malhas em circuitos C A .

E pra nossa alegria, essa questão já nos deu tudo o que precisamos pra resolvê-la; correntes de malha, indutores e capacitores na forma fasorial, bem como as fontes de tensão.

Desse modo, bora logo prós cálculos.

Passo 2

Primeiramente, vamos aplicar a lei das tensões de K i r c h h o f f ( L K T ) para a malha 1 :

- 12 /_ 64 ° + 20 I_1 - j 15 (I_1 - I_3) + 8 (I_1 - I_2) = 0

(28 - j 15) I_1 - 8 I_2 + j 15 I_3 = 12 /_ 64 °

(28 - j 15) I_1 - 8 I_2 + j 15 I_3 = 5,2604 + j 10,79 ( i )

Depois, bora aplicar a lei das tensões de K i r c h h o f f ( L K T ) para a malha 2 :

- j 25 I_2 + 8 (I_2 - I_1) + j 16 (I_2 - I_3) = 0

- 8 I_1 + (8 - j 9) I_2 - j 16 I_3 = 0 ( i i )

E por último, vamos aplicar a lei das tensões de K i r c h h o f f ( L K T ) para a malha 3 :

- j 15 ( I_3 - I_1 ) + 10 I_3 + j 16 (I_3 - I_2) = 0

j 15 I_1 - j 16 I_2 + (10 + j) I_3 = 0 ( i i i )

Passo 3

Dessa forma, chegamos até o seguinte sistema de três equações e três incógnitas:

{[[[[(28 - j 15) I_1 - 8 I_2 + j 15 I_3 = 5,2604 + j 10,79 (i)],[- 8 I_1 + (8 - j 9) I_2 - j 16 I_3 = 0 (i i)]]],[j 15 I_1 - j 16 I_2 + (10 + j) I_3 = 0 ( i i i )]])

Que pode ser escrito na forma matricial, como:

([[28,-,j,15,-,8,j,15],[j,4,1,+,j,2,1,-,j,4],[j,15,-,j,16,10,+,j]]) * ([[[[I_1],[I_2]]],[I_3]]) = ([[[[5,2604,+,j,10,79],[0]]],[0]])

Mas a questão pede pra gente usar o M a t l a b , né!

Só que a gente não tem! Xiiii!! Parece que vai dar ruim

Calma! Não criemos pânico! Como não temos M a t l b a b disponível, vamos usar um outro software bastante comum na graduação dos alunos de engenharia e que se assemelha muito ao M a t l a b . É o O c t a v e O n l i n e .

Olha só! O sistema matricial anterior é fornecido através de três matrizes. Vamos dar nomes a elas:

A = ([[28,-,j,15,-,8,j,15],[j,4,1,+,j,2,1,-,j,4],[j,15,-,j,16,10,+,j]])

B = ([[[[5,2604,+,j,10,79],[0]]],[0]])

I = ([[[[I_1],[I_2]]],[I_3]])

A solução desse sistema, que é a matriz I , é dada no O c t a v e O n l i n e pelo produto da inversa da matriz A pela matriz B :

I = i n v (A) * B

Só que temos que adaptar essas matrizes à linguagem desse software.

A matriz A fica assim:

A = [ 28 - 15 j , - 8,15 j ; 4 j , 1 + 2 j , 1 - 4 j ; 15 j , - 16 j , 10 + j ]

E a matriz B :

B = [5.2604 + 10.79 j ; 0 ; 0]

O O c t a v e O n l i n e reconhece o j , que é a tradicional notação da forma retangular, como i . Sendo assim, colocando os dados no software, obtemos as seguinte respostas:

I_1 = - 0,12809 + j 0,35943 A

I_2 = - 0,19467 + j 0,28414 A

I_3 = 0,07186 - j 0,12653 A

E olhando a figura do enunciado, podemos ver que a corrente I_x , é dada, pela lei de k i r c h h o f f , por:

I_2 + I_x = I_1

I_x = - 0,12809 + j 0,35943 + 0,19467 - j 0,28414

I_x = 0,0666 + j 0,0752 A

Agora, vamos passar todas as correntes pedidas no enunciado para o domínio da frequência:

I_1 = - 0,12809 + j 0,35943 A

I_1 = sqrt(( - 0,12809 )^2 + ( 0,35943 )^2) /_ tan^(- 1) ((0,35943)/(- 0,12809))

I_1 = 381,4 /_ 109,6 ° m A

I_2 = - 0,19467 + j 0,28414 A

I_2 = sqrt(( - 0,19467 )^2 + ( 0,28414 )^2) /_ tan^(- 1) ((0,28414)/(- 0,19467))

I_2 = 344,3 /_ 124,4 ° m A

I_3 = 0,07186 - j 0,12653 A

I_3 = sqrt(( 0,07186 )^2 + ( - 0,12653 )^2) /_ tan^(- 1) ((- 0,12653)/(0,07186))

I_3 = 145,5 /_ 60,42 ° m A

I_x = 0,0666 + j 0,0752 A

I_x = sqrt(( 0,0666 )^2 + ( 0,0752 )^2) /_ tan^(- 1) ((0,0752)/(0,0666))

I_x = 100,5 /_ 48,5 ° m A

E pronto! Missão cumprida com sucesso!

Resposta

I_1 = 381,4 /_ 109,6 ° m A

I_2 = 344,3 /_ 124,4 ° m A

I_3 = 145,5 /_ 60,42 ° m A

I_x = 100,5 /_ 48,5 ° m A

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