Enunciado

43. Usando o princípio da superposição, determine i x no circuito da figura 10.88

Passo 1

Fala galerinha! Bora pro nosso segundo probleminha sobre superposição em circuitos C A .

Como podemos ver, todos os elementos desses circuito estão na mesma frequência, igual a 2   r a d / s . O diferencial dessa questão, é que há a presença de duas fontes, uma fonte de corrente e uma fonte de tensão.

Por isso, antes de qualquer coisa, vamos passar todos os elementos desse circuito pro domínio da frequência:

5 cos ⁡ ( 2 t + 10 ° ) → 5 ∠ 10 °     ,   ω = 2   r a d / s

10 cos ⁡ ( 2 t - 6 0 ° ) → 10 ∠ - 6 0 °     ,   ω = 2   r a d / s

4   H → j ω L = j 2 ⋅ 4 = j 8   Ω

1 8   F → - j 1 ω C = - j 1 ( 2 ⋅ 1 / 8 ) = - j 4   Ω

Tendo feito isto, vamos finalmente usar a superposição. Para isso, bora separar individualmente cada fonte presente no circuito, no caso, a fonte de corrente e a de tensão.

Iremos calcular a corrente I 1 naquele ramo do circuito proveniente apenas da fonte de tensão,. Depois, calcularemos a corrente I 2 proveniente apenas da contribuição da fonte de corrente. Somamos as duas e, como resultado obtemos I x .

Vamos lá! Mão na massa!

Passo 2

Bora começar! Inicialmente, iremos considerar apenas a contribuição da fonte de tensão. Nesse caso, teremos que abrir o circuito no ramo onde está a fonte de corrente.

Desse jeitinho aqui:

E a corrente I 1 , nesse caso, é dada por:

I 1 = 10 ∠ - 60 °   V j 8 - j 4 + 3   Ω  

I 1 = 10 ∠ - 60 ° 3 + j 4   A

Vamos deixar desse jeito mesmo! Já já entenderemos o porquê disso.

Passo 3

Agora, vamos considerar apenas a fonte de corrente. Logo, a fonte de tensão alternada vai virar um curto circuito.

Desse modo, o nosso circuito vai ficar com a seguinte cara:

E a corrente I 2   pode então, ser facilmente obtida por divisão de corrente pelo seguinte cálculo abaixo...

I 2 = - j 8   Ω [ j 8 - j 4 + 3 ]   Ω ⋅ ( 5 ∠ 1 0 °   A )

Esse sinal negativo advém do fato, de que na divisão de corrrente, a corrente de 5 ∠ 10 °   A , ao chegar do nó, irá se dividir em duas. Ou seja, pelo menos teoricamente, a corrente vai sair do nó e não entrar, como na nossa figura. Continuando com os cálculos...

I 2 = 8 ∠ 90 ° 3 + j 4 ⋅ ( 5 ∠ 10 °   A )

I 2 = 40 ∠ 1 0 0 ° 3 + j 4     A

Viu só! As duas correntes tem a parte ( 3 + j 4 ) no denominador.

Passo 4

Pra finalizar, vamos somar essas correntes a fim de obter I x :

I x = I 1 + I 2

I x = 10 ∠ - 60 ° 3 + j 4 - 40 ∠ 1 0 0 ° 3 + j 4   A

I x = 1 3 + j 4 ⋅ 10 ∠ - 60 ° - 40 ∠ 1 0 0 °

I x = 5 - j 8,66 + 6,946 - j 39,3923 3 + j 4

I x = 11,946 - j 48,052 3 + j 4

I x = 49,515 ∠ - 76,04 ° 5 ∠ 53,13 °

I x = 9,902 ∠ - 129,17 °     A

Falta só passar pro domínio da frequência:

I x = 9,902 cos ⁡ ( 2 t - 129,17 ° )   A

Pronto! Missão cumprida!

Resposta

I x = 9,902 cos ⁡ 2 t - 129,17 °   A

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