Enunciado

70. Escreva as equações de tensão nos nós usando o método de

inspeção e, em seguida, determine os valores de V1 e V2 no

circuito da Figura 3.114.

Passo 1

Quando analisamos um circuito por inspeção ele deve possuir apenas fontas de corrente ou apenas fontes de tensão, nesse caso temos apenas fontes de corrente.

O tamanho da matriz é definido pela quantidade de nós que não são de referência, o exercício já evidenciou esses nós. Como nesse circuito temos 2 nós que não são de referência, então vamos ter uma matriz 2x2, dessa forma:

G 11 G 1 2 G 2 1 G 22 ⋅ V 1 V 2 = i 1 i 2

Passo 2

Os termos G 11 e G 22 são a soma das condutâncias conectadas aos nós 1 e 2, respectivamente. Perceba que o valor escrito dos lados dos resistores são o valor da condutâcia já, pois está em siemens.

G 11 = 1 + 2 = 3

G 22 = 5

Já as outras condutâncias que estão na forma G k j representam o negativo da soma das condutâncias entre os nós k e j , por exemplo:

Entre os nós 1 e 2 não existe nenhuma contutância, então é igual a zero:

G 12 = G 21 - 0 = 0

Montando a matriz temos:

3 0 0 5 ⋅ V 1 V 2 = i 1 i 2

Passo 3

Nós precisamos descobrir os valores de v 1 e v 2 . Já os valores de i 1 , i 2 e i 3 o exercício nos dá, pois essas correntes representam a soma todas as fontes de corrente conectadas a cada nó, sendo que as correntes que entram são positivas e as que saem do nó negativas. Então:

i 1 = 20 + 4 i x

Pela lei de Ohm a gente sabe que

i x = V 1 - 0 ⋅ 2

i x = 2 V 1

Então i 1 fica igual a

i 1 = 20 + 8 V 1

i 2 fica:

i 2 = - 4 i x - 7

i 2 = - 8 V 1 - 7

Esses resultados na Matriz fica:

3 0 0 5 ⋅ V 1 V 2 = 20 + 8 V 1 - 8 V 1 - 7

Podemos reescrever isso como um sistema de equações para tirarmos as tensões que estão aprecendo na matriz onde não deveria ter variáveis.

A primeira equação fica:

3 V 1 = 20 + 8 V 1

- 5 V 1 = 20

V 1 = - 4

E a segunda:

5 V 2 = - 8 V 1 - 7

8 V 1 + 5 V 2 = - 7

Agora sim podemos voltar para o formato de matriz:

1 0 8 5 ⋅ V 1 V 2 = - 4 - 7

Podemos resolver esse sistema com a ajuda de uma calculadora ou de algum software como o MATLAB, além de poder resolver na mão também. As tensões são iguais a:

V 1 = - 4   V

V 2 = 5   V

Resposta

V 1 = - 4   V

V 2 = 5   V

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