Enunciado

Calcule i para t > 0, se i(0) = 5 A.

Passo 1

Olá pessoal, temos mais uma questão a ser resolvida, espero poder ajudar vocês com ela, vamos lá.

Essa questão aparenta ser muito simples de ser resolvida, mas é preciso ter sempre cuidado no momento de resolver. Ela pede a expressão da corrente i no decorrer do tempo sendo que a fonte de tensão é dependente do valor de uma corrente no circuito, sendo assim, precisamos encontrar o valor dessa corrente ou uma relação entre os valores das correntes dadas, já que como estão no mesmo circuito elas podem se relacionar.

Antes de começar a resolução do problema é necessário levar em consideração os polos positivo e negativo de cada elemento do circuito, que por análise se tem o seguinte:

Com o desenho das polaridades no circuito é possível notar que as tensões dos resistores é a mesma, já que estão associados em paralelo, logo, é possível calcular o valor dessa tensão. No entanto, não se tem o valor da corrente eu passa por nenhum dos dois resistores, então se procura relacionar essas tensões:

3 i_x = 2 i_1

i_x = (2)/(3) i_1

Essa corrente i_x é a corrente que passa pelo resistor de 3 Ω e dessa forma obtemos os valores das correntes em termos de i_1 , que fica da seguinte forma:

Agora só falta aplicar no nó superior a LKC para encontrar o valor da tensão do resistor de 3 Ω em termos de i:

0 = i + i_1 + (2)/(3) i_1

i_1 = - (3)/(5) i

Passo 2

Com os dados encontrados é possível dar continuidade à resolução da questão aplicando a LKT usando o ponto indicado em laranja como início da malha, lembrando que será usado a malha do lado esquerdo, já que se quer achar a expressão de i:

v_L - 0,5 i_1 - 2 i_1 = 0

v_L - (5)/(2) i_1 = 0

Com a substituição do valor de i_1 para deixar em termos de i:

v_L + (3)/(2) i = 0

Passo 3

Para finalizar precisamos escrever essa equação em termos de i e para isso reescrevemos ela substituindo v_L pela sua expressão em termos de corrente:

(d i)/(d t) + 6 i = 0

Como se obteve uma equação diferencial, é preciso resolvê-la e considerar ainda o valor da corrente em t = 0 que foi dado no enunciado da questão. Pela resolução de uma EDO assim sabe-se que:

(d x)/(d t) + P x = 0

x (t) = x_0 . e^(- P t)

Dessa forma, com os dados já obtidos até o presente momento, a resposta é a seguinte:

i (t) = 5 e^(- 6 t) A

Resposta

i (t) = 5 e^(- 6 t) A

Exercícios de Livros Relacionados

Em vez de aplicar a técnica reduzida usada na Seção 7.6, use a LKT para obter a Equação (7.60).
Determine a corrente i ( t ) no indutor para t0 e t0 para cada um dos circuitos da Figura 7.119.
Determine a corrente no indutor para t0 e t0 em cada um dos circuitos da Figura 7.120.
Refaça o Problema 7.17 se i ( 0 ) = 10 A e v ( t ) = 20 u ( t ) V .
Refaça o Problema 7.17 se i ( 0 ) = 10 A e v ( t ) = 20 u ( t ) V .