Enunciado

Calcule a resposta forçada se

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 3 x = f t

Onde f ( t ) é dado por (a) 2 e - 3 t + 6 e - 4 t , (b) 4 e - t + 2 e - 3 t

Passo 1

Então galeres, o primeiro passo aqui vai ser encontrar as frequências naturais dessa equação diferencial e para isso vamos resolver a sua equação característica:

s 2 + 4 s + 3 = 0

Depois de feito isso, vamos verificar se a nossa excitação f ( t ) possui alguma frequência em comum com a frequência natural e se isso ocorrer vamos tentar uma resposta forçada multiplicada por t .

Vamos começar então, com a solução da equação característica que será igual independente da excitação f ( t ) .

Δ = 4 2 - 4 × 1 × 3

Δ = 16 - 12 = 4

Teremos, portanto, duas frequências naturais reais distintas, sendo elas:

s = - 4 ± 4 2

s = - 2 ± 1

s ' = - 1   ; s ' ' = - 3

Encontramos, portanto, as nossas frequências naturais.

Passo 2

Bom, vamos agora encontrar as nossas respostas forçadas.

Na letra a), temos que a excitação é dada por:

f t = 2 e - 3 t + 6 e - 4 t

Portanto, temos uma frequência de excitação ( - 3 ) que é igual a uma frequência natural.

Sendo assim, vamos tentar a seguinte resposta forçada:

x f = A t e - 3 t + B e - 4 t

(Você pode reparar que o termo A t e - 3 t está multiplicado por t , pois este termo possui a mesma frequência que uma das frequências naturais.)

Vamos diferenciar essa resposta, para substituir na equação e encontrar suas constantes A e B . (Cuidado com a regra do produto!)

d x f d t = A 1 × e - 3 t - 3 t e - 3 t + B - 4 e - 4 t

d x f d t = A - 3 t + 1 e - 3 t - 4 B e - 4 t

d 2 x f d t 2 = A - 3 e - 3 t + - 3 t + 1 ( - 3 e - 3 t - 4 B - 4 e - 4 t

d 2 x f d t 2 = A - 3 e - 3 t + ( 9 t - 3 e - 3 t ) + 16 B e - 4 t

d 2 x f d t 2 = A 9 t - 6 e - 3 t + 16 B e - 4 t

Passo 3

Para finalizar, vamos substituir na expressão da equação para encontrar as constantes:

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 3 x = f t

A 9 t - 6 e - 3 t + 16 B e - 4 t + 4 A - 3 t + 1 e - 3 t - 16 B e - 4 t + 3 A t e - 3 t + 3 B e - 4 t = 2 e - 3 t + 6 e - 4 t

e - 3 t 9 A t - 6 A - 12 A t + 4 A + 3 A t + e - 4 t 16 B - 16 B + 3 B = 2 e - 3 t + 6 e - 4 t

e - 3 t - 2 A + e - 4 t 3 B = 2 e - 3 t + 6 e - 4 t

Para manter a igualdade da equação, que deve ser válida para qualquer valor de t , é necessário portanto que o termo que acompanha e - 3 t no lado esquerdo seja igual ao do lado direito:

- 2 A = 2

A = - 1

O mesmo deve acontecer com o termo que acompanha e - 4 t

3 B = 6

B = 2

Dessa forma, a resposta forçada será, portanto:

x f t = - t e - 3 t + 2 e - 4 t

Passo 4

Vamos repetir o mesmo que fizemos para a letra a).

Agora, a excitação é dada como: f t = 4 e - t + 2 e - 3 t

E a nossa excitação possui as duas frequências naturais ( - 1 e - 3 ).

Dessa forma, vamos tentar a seguinte resposta forçada:

x f t = A t e - t + B t e - 3 t

E diferenciando teremos:

d x f t d t = A - t + 1 e - t + B - 3 t + 1 e - 3 t

d 2 x f d t 2 = A t - 2 e - t + B 9 t - 6 e - 3 t

(Obs.: No livro, na seção 9.6, já é dada uma fórmula para a primeira e segunda derivada dessa resposta forçada, mas você também pode chegar nesses valores fazendo a derivada e tomando cuidado com as regras do produto que aparecerem.)

Passo 5

Agora, vamos substituir na equação diferencial para encontrar o valor das constantes.

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 3 x = f t

A t - 2 e - t + B 9 t - 6 e - 3 t + 4 A - t + 1 e - t + 4 B - 3 t + 1 e - 3 t + 3 A t e - t + 3 B t e - 3 t = 4 e - t + 2 e - 3 t

e - t A t - 2 A - 4 A t + 4 A + 3 A t + e - 3 t 9 B t - 6 B - 12 B t + 4 B + 3 B t = 4 e - t + 2 e - 3 t

e - t 2 A + e - 3 t - 2 B = 4 e - t + 2 e - 3 t

Igualando os termos que multiplicam pelas mesmas exponenciais, teremos:

2 A = 4

A = 2

- 2 B = 2

B = - 1

Portanto, a resposta forçada será:

x f t = 2 t e - t - t e - 3 t

Resposta

a )

x f t = - t e - 3 t + 2 e - 4 t

b )

x f t = 2 t e - t - t e - 3 t

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