Enunciado

Calcule a resposta forçada se

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 4 x = f t

Onde f ( t ) é dado por (a) 6 e - 2 t , (b) 6 t e - 2 t .

Sugestão: Em (b), tente x f = A t 3 e - 2 t

Passo 1

Então pessoal, o primeiro passo aqui vai ser encontrar as frequências naturais dessa equação diferencial e para isso vamos resolver a sua equação característica:

s 2 + 4 s + 4 = 0

Depois de feito isso, vamos verificar se a nossa excitação f ( t ) possui alguma frequência em comum com a frequência natural e se isso ocorrer vamos tentar uma resposta forçada multiplicada por t . Sendo que para (b), vamos tentar a sugestão dada no livro.

Vamos começar então, com a solução da equação característica que será igual independente da excitação f ( t ) .

Δ = 4 2 - 4 × 1 × 4

Δ = 16 - 16 = 0

Teremos, portanto, duas frequências naturais reais iguais, sendo elas:

s = - 4 2

s ' = - 2   ; s ' ' = - 2

Encontramos, portanto, as nossas frequências naturais.

Passo 2

Bom, vamos agora encontrar as nossas respostas forçadas.

Na letra a), temos que a excitação é dada por:

f t = 6 e - 2 t

Portanto, temos uma frequência de excitação ( - 2 ) que é igual as duas frequências naturais.

Quando isso ocorre, tentamos uma frequência natural multiplicada por t 2 .

Sendo assim, vamos tentar a seguinte resposta forçada:

x f = A t 2 e - 2 t

Vamos diferenciar essa resposta, para substituir na equação e encontrar suas constantes A e B . (Cuidado com a regra do produto!)

d x f d t = A 2 t × e - 2 t - 2 t 2 e - 2 t

d x f d t = A - 2 t 2 + 2 t e - 2 t

d 2 x f d t 2 = A ( - 4 t + 2 e - 2 t + - 2 t 2 + 2 t - 2 e - 2 t

d 2 x f d t 2 = A 4 t 2 - 4 t - 4 t + 2 e - 2 t

Passo 3

Para finalizar, vamos substituir na expressão da equação para encontrar as constantes:

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 4 x = f t

A 4 t 2 - 4 t - 4 t + 2 e - 2 t + 4 A - 2 t 2 + 2 t e - 2 t + 4 A t 2 e - 2 t = 6 e - 2 t

e - 2 t A 4 t 2 - 8 t 2 + 4 t 2 - 4 t - 4 t + 8 t + 2 = 6 e - 2 t

e - 2 t 2 A = 6 e - 2 t

Portanto, como essa equação precisa ser uma igualdade para qualquer valor de t , teremos que:

2 A = 6

A = 3

Portanto, a resposta forçada será:

x f = 3 t 2 e - 2 t

Passo 4

Na letra (b) temos que a excitação será:

f t = 6 t e - 2 t

E a sugestão dada no enunciado é de tentar a seguinte resposta forçada:

x f t = A t 3 e - 2 t

(Essa tentativa faz sentido, pois a resposta forçada para essa excitação seria A t e - 2 t , no entanto, como a frequência forçada é igual as duas frequências naturais é preciso multiplicar essa resposta por t 2 ).

Agora, diferenciando a resposta para depois substituir na equação diferencial e encontrar as constantes.

d x f t d t = A 3 t 2 e - 2 t + t 3 - 2 e - 2 t

d x f t d t = A 3 t 2 - 2 t 3 e - 2 t

E a segunda derivada será:

d 2 x f t d t 2 = A 6 t - 6 t 2 e - 2 t + 3 t 2 - 2 t 3 - 2 e - 2 t

d 2 x f t d t 2 = A e - 2 t 4 t 3 - 6 t 2 - 6 t 2 + 6 t

d 2 x f t d t 2 = A e - 2 t 4 t 3 - 12 t 2 + 6 t

Passo 5

Agora, vamos substituir na equação diferencial para encontrar o valor das constantes.

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 4 x = f t

A e - 2 t 4 t 3 - 12 t 2 + 6 t + 4 A 3 t 2 - 2 t 3 e - 2 t + 4 A t 3 e - 2 t = 6 t e - 2 t

A e - 2 t 4 t 3 - 8 t 3 + 4 t 3 - 12 t 2 + 12 t 2 + 6 t = 6 t e - 2 t

e - 2 t A 6 t = 6 t e - 2 t

Igualando os termos que multiplicam pelas mesmas exponenciais, teremos:

6 A t = 6 t

A = 1

Portanto, a resposta forçada será:

x f t = t 3 e - 2 t

Resposta

a )

x f = 3 t 2 e - 2 t

b )

x f t = t 3 e - 2 t