Enunciado

Calcule a resposta completa se

d 2 x d t 2 + 9 x = 18 s e n 3 t

E x 0 = d x 0 d t = 0

Sugestão: Verifique x f = t ( A c o s 3 t + B s e n 3 t )

Passo 1

Então pessoal, o primeiro passo aqui vai ser encontrar as frequências naturais dessa equação diferencial e para isso vamos resolver a sua equação característica:

s 2 + 9 = 0

Depois de feito isso, vamos calcular a nossa resposta natural e iremos calcular a resposta forçada e encontrar suas constantes ao substituir na equação diferencial. Por fim, vamos encontrar as constantes da resposta natural com os valores iniciais dados.

E pra fechar com chave de ouro, vamos somar as duas respostas para obter a resposta completa:

x = x n + x f

Passo 2

Vamos começar então, com a solução da equação característica.

s 2 + 9 = 0

s 2 = - 9

s = - 9

s = ± 3 j

Temos portanto um caso de subamortecimento, com duas frequências naturais complexas distintas.

s = α ± j β

Temos portanto a seguinte solução natural.

x n t = e α t B 1 c o s β t + B 2 s e n β t

Substituindo os valores de α e β encontrados:

x n t = e 0 B 1 c o s 3 t + B 2 s e n 3 t

x n t = B 1 c o s 3 t + B 2 s e n 3 t

Vamos também ter esse valor diferenciado, pois ele será preciso depois. (Aqui usamos a regra da cadeia, não se esqueça dela!)

d x n t d t = - 3 B 1 s e n 3 t + 3 B 2 c o s 3 t

Passo 3

Bom, vamos agora encontrar a nossa resposta forçada.

O enunciado nos deu como sugestão:

x f t = t A c o s 3 t + B s e n 3 t

O que faz sentido, pois a excitação f t = 18 s e n 3 t possui a frequência natural do circuito.

Vamos então diferenciar a nossa resposta forçada, para encontrar suas constantes ao substituir na equação.

d x f t d t = A c o s 3 t + B s e n 3 t + t - 3 A s e n 3 t + 3 B c o s 3 t

d x f t d t = A + 3 B t c o s 3 t + B - 3 A t s e n 3 t

E agora encontrando sua segunda derivada:

d 2 x f t d t 2 = 3 B c o s 3 t + A + 3 B t - 3 s e n 3 t - 3 A s e n 3 t + ( B - 3 A t 3 c o s 3 t

d 2 x f t d t 2 = 3 B + 3 B - 9 A t c o s 3 t + - 3 A - 9 B t - 3 A s e n 3 t

d 2 x f t d t 2 = 6 B - 9 A t c o s 3 t + - 6 A - 9 B t s e n 3 t

Substituindo na equação diferencial, teremos:

d 2 x d t 2 + 9 x = 18 s e n 3 t

6 B - 9 A t c o s 3 t + - 6 A - 9 B t s e n 3 t + 9 t A c o s 3 t + B s e n 3 t = 18 s e n 3 t

c o s 3 t 6 B - 9 A t + 9 A t + s e n 3 t - 6 A - 9 B t + 9 B t = 18 s e n 3 t

Igualando os termos que multiplicam o cosseno dos dois lados:

6 B = 0

B = 0

Agora os termos que multiplicam o seno dos dois lados:

- 6 A = 18

A = - 3

Portanto, nossa resposta forçada será:

x f t = - 3 t c o s 3 t

Vamos encontrar também sua derivada, pois vamos precisar dela depois:

d x f t d t = - 3 c o s 3 t - 3 t s e n 3 t

d x f t d t = 9 t s e n 3 t - 3 c o s 3 t

Passo 4

Para finalizar, vamos unir nossas respostas para termos uma resposta completa, e com as condições iniciais, vamos encontrar as constantes que faltam.

x = x n + x f

x = B 1 c o s 3 t + B 2 s e n 3 t - 3 t c o s 3 t

Sabemos que x 0 = 0 , logo:

x 0 = B 1 + 0 - 0

0 = B 1

Também sabemos que d x 0 d t = 0 , logo:

d x ( t ) d t = d x n t d t + d x f t d t

E nós fomos espertos e já sabemos os valores dessas derivadas.

d x ( t ) d t = - 3 B 1 s e n 3 t + 3 B 2 c o s 3 t + 9 t s e n 3 t - 3 c o s 3 t

d x 0 d t = 3 B 2 - 3 = 0

3 B 2 = 3

B 2 = 1

Com isso, finalizamos nosso exercício, e para encontrar a resposta completa só precisamos substituir as constantes encontradas.

x ( t ) = B 1 c o s 3 t + B 2 s e n 3 t - 3 t c o s 3 t

x t = s e n 3 t - 3 t c o s 3 t

Resposta

x t = s e n 3 t - 3 t c o s 3 t