Enunciado

A chave no circuito da figura que estava fechada a um longo tempo, é aberta em t = 0 . Determine i t para t > 0 .

Passo 1

Acho interessante começar esse problema já considerando que a chave já está conectada ao B por um tempinho já, então o circuito se resume ah...

Onde esse i t aí é quem devemos encontrar. Bora resolver esse circuito então?

Passo 2

Bem, esse circuito pode ser resolvido usando a lei das malhas se lembrando de que a tensão em cima do indutor é v i = L   d i / d t e em cima do capacitor... A integral...

1 1 / 4 ∫     i t d t + 1 2 ⋅ d i t d t + 2 i t = 0

Derivando para tirar essa integral daí...

4 i t + 1 2 ⋅ d 2 i t d t 2 + 2 d i t d t = 0

Ou seja, precisamos resolver essa equação aí!

Passo 3

Beleza, então agora vamos resolvê-la aplicando a transformada de Laplace...

L 4 i t + 1 2 ⋅ d 2 i t d t 2 + 2 d i t d t = 0

Ora, lembrando-se das Laplaces das derivadas...

4 I s + 1 2 s 2 I s - s i 0 - i ' 0 + 2 s I s - i 0 = 0

Perceba então que temos que encontrar essas condições iniciais. Para isso, vamos utilizar aquelas informações lá sobre a chave no tempo t = 0 !

Passo 4

No t = 0 - , a chave está ainda ligada e observe que o capacitor está em paralelo com o indutor e o resistor...

  • o capacitor um circuito aberto, o que leva a fonte de 12 V ser a tensão v 0 - em cima do capacitor (só porque ele é um circuito aberto, não significa que ele não está energizado):
  • v 0 - = 12 V

  • Bobina é um curto, devido ao resistor em série a corrente na bobina será...

i 0 - = 12 2 = 6 A

Após a abertura da chave t = 0 , esses valores continuam já que a bobina não sofre variações bruscas de corrente e quanto ao capacitor, de tensão:

v 0 = 12

E

i 0 = 6

Da Equação do Inditur, sabemos que...

v t L = i ' t     →

i ' 0 = 12 1 / 2 = 24 A

Saca?

Passo 5

Voltando então para a equação...

4 I s + 1 2 s 2 I s - s i 0 - i ' 0 + 2 s I s - i 0 = 0   →

Ganharemos essa daqui...

4 I s + 1 2 s 2 I s - 6 s - 24 + 2 s I s - 6 = 0     →

4 I s + 1 2 s 2 I s - 3 s - 12 + 2 s I s - 12 = 0     →

Isolando I s ...

I s 4 + 1 2 s 2 + 2 s - 3 s - 1 2 - 12 = 0     →

I s = 6 s + 48 8 + s 2 + 4 s       →

E completando quadrados no denominador...

I s = 6 s + 48 s + 2 2 + 2 2       →

Esse cara se parece com a Laplace do cosseno, mas falta fazer umas jogadas...

I s = 6 s + 8 s + 2 2 + 2 2       →

I s = 6 s + 2 + 6 s + 2 2 + 2 2       →

I s = 6 s + 2 s + 2 2 + 2 2 + 6 ⋅ 3 2 s + 2 2 + 2 2       →

Se lembra disto? Prontinho! Podemos agora calcular a inversa encontrando o i t :

i t = 6 e - 2 t cos ⁡ 2 t + 18 e - 2 t s in ⁡ 2 t

Resposta

i t = 6 e - 2 t cos ⁡ 2 t + 18 e - 2 t sin ⁡ 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere os circuitos da F i g u r a14.81 e determine a frequência de ressonância ω 0 , o fator de qualidade Q e a largura de banda B .
Calcule a frequência de ressonância de cada um dos circuitos da F i g u r a14.82
Considere os circuitos da F i g u r a14.81 e determine a frequência de ressonância ω 0 , o fator de qualidade Q e a largura de banda B .
Calcule a frequência de ressonância de cada um dos circuitos da F i g u r a14.82
Considere o circuito ilustrado na Figura 14.85 e determine:A função de transferência H ω = V 0 ( ω ) / I ( ω ) A amplitude de H em ω 0 = 1r a d / s