Enunciado

A chave no circuito da Figura P7.25 esteve na posição a por um longo tempo e v2 = 0 V. Em t = 0, a chave é colocada na posição b. Calcule a) i, v1 e v2 para t $ 0+, b) a energia armazenada no capacitor de 30 mF em t = 0 e c) a energia final retida no circuito e a energia total dissipada no resistor de 2,5 kV, se a chave permanecer na posição b indefinidamente.

Passo 1

[a] – Se tem uma coisa que capacitor não pode é variar a tensão instantaneamente, logo, por isso se tem a seguinte condição:

v 1 0 - = v 1 0 + = 0.006 5000 = 30   V

e...

v 2 0 + = 0

E a capacitância equivalente é igual a:

C e q = 30 × 60 90 = 20   μ F  

Então, o circuito equivalente fica mais ou menos assim...

Logo, a constante de tempo será calculada da seguinte maneira:

τ = 2.5 × 10 - 3 20 × 10 - 6 = 50   m s ; → 1 τ = 20

Com isso, a equação da corrente será dada por:

i = 30 2500 e - 20 t = 12 e - 20 t   m A ,     t ≥ 0 +

No caso de v 1   e   v 2 , eu preciso calcular duas integrais:

v 1 = - 1 30 × 10 - 6 ∫ 0 t 12 × 10 - 3 e - 20 x   d x   + 30  

v 1 = 20 e - 20 t + 10   V ,     t ≥ 0

No caso de v 2 , temos:

v 2 = 1 60 × 10 - 6 ∫ 0 t 12 × 10 - 3 e - 20 x   d x + 0

v 2 = - 10 e - 20 t + 10   V ,     t ≥ 0

Passo 2

w 0 = 1 2 30 × 10 - 6 30 2 = 13.5   m J

Passo 3

w r e t i d a = 1 2 30 × 10 - 6 10 2 + 1 2 60 × 10 - 6 10 2 = 4.5   m J

A energia dissipada no resistor de 2.5   k Ω é igual a energia dissipada pelos dois capacitores, então é mais fácil calcular a energia dissipada dos capacitores.

w d i s s = 1 2 30 × 10 - 6 30 2 = 9   m J

Resposta

a )   i =     12 e - 20 t   m A ,     t ≥ 0 +

v 1 = 20 e - 20 t + 10   V ,     t ≥ 0

v 2 = - 10 e - 20 t + 10   V ,     t ≥ 0

b )   w 0 = 13.5   m J

c )   w d i s s = 9   m J

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