Enunciado

Para o circuito da Figura 8.89 , determine i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Vamos lá, galerinha! Quando estamos em t = 0 - , ou seja, no momento antes de t = 0 , nós temos a chave aberta. Logo, i 0 = 0 e v 0 = 5 × 100 20 + 5 + 5 = 50 3 , via divisor de tensão.

Quando t > 0 , passamos a ter o seguinte circuito:

Podemos transformar essa fonte de tensão em série com um resistor (circulado em vermelho) em uma fonte de corrente em paralelo com um resistor. Para encontrarmos o valor da nova fonte de corrente, basta dividirmos a tensão gerada pelo valor da resistência. Assim,

I f o n t e = 100 20 = 5 A

Fazendo o resistor equivalente, temos:

R e q = 20 × 5 25 = 4   Ω

Assim, vamos voltar para uma fonte de tensão:

Passo 2

Vamos agora procurar as raízes:

α = R 2 L = 4 2 1 = 2

ω 0 = 1 L C = 1 1 0,0 4 = 1 0,04 = 5

s 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2 = - 2 ± j 4,583

Como as raízes são imaginárias, podemos escrever a tensão como:

v t = V s + A cos ⁡ ω d t + B sin ⁡ ω d t e - 2 t ,   o n d e   ω d = 4,583   e   V s = 20 V  

Passo 3

Quando olhamos para o instante t = 0 , temos:

v 0 = 50 3 = 20 + A

A = - 10 3

A corrente de um indutor pode ser escrita como:

i C t = C d v C d t

i C t = C - 2 A cos ⁡ ω d t + B sin ⁡ ω d t e - 2 t + C ω d [ - A sin ⁡ ω d t + B cos ⁡ ω d t e - 2 t ]

No instante t = 0 ,

i C 0 = 0 = - 2 A + ω d B

B = 2 A ω d = - 20 3 × 4,583

B = - 1,455

Portanto, a corrente final será igual a:

i t = C { 0 cos ⁡ ω d t + - 2 B - ω d A sin ⁡ ω d t e - 2 t }

i t = 1 25 ( 2,91 + 15,2767 sin ⁡ ( ω d t ) ] e - 2 t   A

i t = 727,5 sin ⁡ ( 4,583 t ) e - 2 t   m A

Resposta

A corrente é igual a:

i t = 727,5 sin ⁡ ( 4,583 t ) e - 2 t   m A

Exercícios de Livros Relacionados

Para o circuito da Figura 8.65, determine:(a) v 0 +   e   i ( 0 + ) (b) d v ( 0 + ) / d t   e   d i ( 0 + ) / d t (c) v ∞       e   i ( ∞ )
Considere a Figura 8.63 e elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor como determinar os valores inicial e final.
Referindo-se ao circuito da Figura 8.66, determine:(a) i ( 0 + ) e v ( 0 + ) (b) d i ( 0 + ) / d t e d v ( 0 + ) / d t (c) i ( ∞ ) e v ( ∞ )
Usando a Figura 8.9 3 , elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor a resposta a um degrau de um circuito R L C em paralelo.
Obtenha v(t) e i(t) para t > 0 no circuito da Figura 8.84.
Considere a Figura 8.100 e elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor os circuitos de segunda ordem gerais.
Consulte o circuito da Figura 8.86 . Calcule i ( t ) para t > 0 .
A chave no circuito da Figura 8.88 é deslocada da posição a para a posição b em t = 0 . Determine i ( t ) para t > 0 .
A resposta a um degrau de um circuito R L C em paralelo é v = 10 + 20 e - 300 t cos ⁡ 400 t - 2 sen ⁡ 400 t   V ,   t ≥ 0 quando o indutor é de 50   m H . Determine R   e   C .
Se a chave na figura 8.103 se encontrar desligada há um longo tempo antes de t = 0 , porém é aberta em t = 0 , determine:A equação característica do circuito. i X e v R para t >...
Encontre a resposta v R ( t ) para t > 0 no circuito da figura 8.107 . Seja R = 3   Ω ,   L = 2   H e C = 1 18   F .
O interruptor da Figura 8.105 se encontrava na posição 1 para t < 0 . Em t = 0 , ela muda instantaneamente para o terminal superior do capacitor. Observe que o interruptor fecha...