Enunciado

Determine a tensão de saída v 0 ( t ) no circuito da Figura 8.94 .

Passo 1

Galerinha, vamos lá. No momento t = 0 - , o momento antes da chave fechar, nós temos o circuito sendo alimentado por uma fonte de corrente, em regime permanente. Sabemos que, sob esse regime, o indutor se comporta como um fio e o capacitor como um circuito aberto. Assim, a corrente que passa pelo resistor de 10   Ω é a mesma que passa pelo indutor e a tensão v 0 ( 0 ) é zero.

i L 0 = 5 10 + 5 3 = 1   A

v 0 0 = 0   V

Passo 2

Quando t > 0 , a chave é fechada e o resistor de 10   Ω é curto-circuitado, restando apenas um circuito RLC paralelo. Logo, a próxima coisa que podemos começar a fazer é analisar os valores de α e ω 0 e achar as raízes características:

α = 1 2 R C = 1 2 5 10 × 10 - 3 = 10

ω 0 = 1 L C = 1 1 10 × 10 - 3 = 1 0

Como temos que α = ω 0 , a resposta do circuito é amortecida crítica.

s 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2 = - 10

Portanto, a equação da nossa corrente será da forma:

i t = I s + A + B t e - 10 t ,   o n d e   I s = 3   A

Para o instante inicial t = 0 , o enunciado já nos forneceu o valor da corrente! Assim, substituindo na expressão acima t = 0 , obtemos:

i 0 = 1 = 3 + A

A = - 2

A mesma análise inicial também foi feita para a tensão. Sabemos que, em t = 0 , v 0 = 0 . Como temos nossos três elementos do circuito em paralelo, todos eles estão sob a mesma tensão, ou seja

v R = v L = v C = v

Portanto, podemos escrever o seguinte:

v 0 = 0 = L d i 0 d t

Vamos calcular a derivada da corrente?

d i d t = B e - 10 t + - 10 A + B t e - 10 t

Quando t = 0 ,

d i 0 d t = 0 = B - 10 A

B = 10 ( - 2 )

B = - 20

Como todos os componentes estão em paralelo, a tensão v 0 é a mesma tensão em cima do indutor. Portanto,

v 0 = v L = L d i d t

v 0 = 1 B e - 10 t + - 10 A + B t e - 10 t

v 0 = - 20 e - 10 t + - 10 - 2 - 20 t e - 10 t

v 0 = 200 t e - 10 t   V

Resposta

O valor para v 0 ( t ) é:

v 0 = 200 t e - 10 t   V

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Consulte o circuito da Figura 8.86 . Calcule i ( t ) para t0 .
Para o circuito da Figura 8.89 , determine i ( t ) para t0 .
Para o circuito da Figura 8.85 , determine i ( t ) para t0 .
A resposta a um degrau de um circuito R L C em paralelo é v = 10 + 20 e - 300 t cos ⁡ 400 t - 2 sen ⁡ 400 tV ,t ≥ 0 quando o indutor é de 50m H . Determine ReC .
Determine v ( t ) para t0 no circuito da Figura 8.98 .