Enunciado

Um circuito formado por uma bobina de indutância 10   m H e por resistência 20   Ω é conectado em série a um capacitor e um gerador com tensão R M S igual a 120 V . Determine:

  1. O valor da capacitância que fará que o circuito entre em ressonância em 15   k H z .
  2. A corrente que atravessa a bobina na ressonância.
  3. O fator Q do circuito.

Passo 1

L e t r a   A :

Nesse problema, por se tratar de um circuito série, podemos resolver esse problema buscando o valor desse C através das equações para um circuito R L C série:

ω 0 = 1 L C   ,       Q = ω 0 L R           e           B = ω 0 Q

Onde ω 0 = 2 π f 0 ...

f 0 = 1 2 π L C

Perceba que temos o valor de f 0 (frequência de ressonância) dito na letra a :

f 0 = 15 ⋅ 10 3   H z

E temos a indutância de valor 10 ⋅ 10 - 3 H , logo da primeira equação...

ω 0 = 1 2 π L C     →

15 ⋅ 10 3 = 1 2 π 10 ⋅ 10 - 3 C   →

2 π 10 ⋅ 10 - 3 ⋅ C = 1 15 ⋅ 10 3   →

C = 1 2 π 10 ⋅ 10 - 3 15 ⋅ 10 3

Elevando ambos os lados ao quadrado...

C = 1 4 π 2 10 ⋅ 10 - 3 15 ⋅ 10 3 2 =

1 4 π 2 10 - 2 15 2 ⋅ 10 6 = 1 4 π 2 15 2 ⋅ 10 4 =

Como 1 4 π 2 15 2 = 11,57 ⋅ 10 - 5

11 , 26 ⋅ 10 - 5 10 - 4 F

Ou seja...

C = 1 1,26 ⋅ 10 - 9   F

Como 10 - 9 é n (nano)...

C = 1 1,26   n F

Passo 2

L e t r a   B :

A corrente que atravessa a bobina na ressonância é dada pela Lei de Ohm...

I = V Z

Onde Z para o circuito R L C em série é...

Z = R + j ω L - 1 ω C

Na ressonância, a parte indutiva (que multiplica j ) é 0 por definição, então...

Z = R

O módulo disso, como R é um número real...

Z = R

Então...

I = V R = 120 20 = 6 A

Passo 3

Ora, o fator Q do circuito, como visto no passo 1 , pode ser obtido...

Q = ω 0 L R   →

Como ω 0 = 2 π f 0 ...

Q = 2 π f 0 L R

Substituindo os valores...

Q = 2 π ⋅ 15 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 - 3 20   →

Q = 2 π ⋅ 150 2 ⋅ 10   →

Q = π ⋅ 15 = 47,12

Resposta

L e t r a   A : C = 11,26   n F

L e t r a   B : I = 6 A

L e t r a   C : Q = 47,12

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