Enunciado

Uma corrente em degrau unitário é aplicada a um indutor de 1   H . A tensão no indutor é:

  1. u t   V
  2. s g n t   V
  3. e - t u t   V
  4. δ ( t )

Passo 1

Bom, galera, do problema descrito nós temos as seguintes informações:

L = 1   H ,   i t = u t   A

Se aplicarmos a lei de Ohm no domínio da frequência, teremos:

V ω = Z ω I ω

Onde V ( ω ) e I ω são as transformadas de Fourier da tensão e da corrente, enquanto Z ω é a transformada de Fourier da impedância. Assim, podemos escrever:

Z ω = j ω L = j ω

Da tabela de transformada de Fourier,

I ω = F i t

F u t = π δ ω + 1 j ω

Portanto, a tensão será igual a:

V ω = j ω π δ ω + 1 j ω

V ω = 1 + π δ ω j ω

Passo 2

Agora que temos a tensão no domínio da frequência, precisamos passar para o domínio do tempo. Vamos aplicar a transformada inversa de Fourier!

v t = F - 1 V ω

v t = F - 1 1 + π δ ω j ω

v t = F - 1 1 + 1 2 π ∫ - ∞ ∞ π δ ω j ω e j ω t d ω

O inverso de 1 no domínio da frequência é igual ao impulso no domínio do tempo. Além disso, vamos reescrever δ ( ω ) como δ ω - 0 . Logo:

v t = δ t + π 2 π ∫ - ∞ ∞ j ω e j ω t δ ω - 0 d ω

Aqui, vamos usar a propriedade de amostragem do impulso, ou seja, quando se multiplica uma função x ( t ) por um impulso de área unitária num instante t = τ , a área sob a função resultante equivale ao valor da função x ( t ) no instante t = τ : ∫ - ∞ ∞ x t δ t - τ d t = x ( τ ) . Assim,

v t = δ t + 1 2   j ω e j ω t ω = 0

v t = δ t + 0

v t = δ ( t )

Resposta

Gabarito letra (d)

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