Enunciado

A corrente que entra pelo terminal positivo de um elemento e i   =   - 4 e - 2 t   A . Calcule a potência entregue ao elemento em função do tempo e a energia entregue ao elemento para t   >   0 , se a tensão e (a) v   =   2 i , (b) v   =   4   d i / d t , e (c) v   =   2 ∫ 0 t i d t   +   4 (a tensão e em volts se a corrente for em ampères).

Passo 1

Falaaaa, galeraaaa! Vamos resolver toda essa questão juntos?

Bom, a potência é dada por:

p = v ∙ i

Já a energia, podemos calcular por:

w = ∫ 0 t p d t

Vamos usar essas equações para calcular em todas as letras.

Passo 2

Letra a):

Primeiro, vamos calcular a tensão de acordo com os dados que já temos do enunciado.

v = 2 i = 2 - 4 e - 2 t

v = - 8 e - 2 t

Calculando a potência, temos:

p = v ∙ i = ( - 8 e - 2 t ) - 4 e - 2 t

p = 32 e - 4 t   W

Para calcular a energia, devemos fazer a integral da potência, como:

w = ∫ 0 t p d t = ∫ 0 t 32 e - 4 t d t = - 32 4 e - 4 t = - 8 e - 4 t - ( - 8 )

lim n → ∞ ⁡ - 8 e - 4 t - - 8 = 8

w = 8   J

Passo 3

Letra b):

Vamos calcular a tensão de acordo com os dados que já temos do enunciado.

v = 4 d i d t

d i d t = - 2 ∙ - 4 e - 2 t = 8   e - 2 t

Logo, a tensão será:

v = 4 ∙ 8   e - 2 t = 32 e - 2 t

Calculando a potência, temos:

p = v ∙ i = ( 32 e - 2 t ) - 4 e - 2 t

p = - 128 e - 4 t   W

Para calcular a energia, devemos fazer a integral da potência, como:

w = ∫ 0 t p d t = ∫ 0 t - 128 e - 4 t   d t = - 128 - 4 e - 4 t 0 t

w = 32 e - 4 t - 32

lim n → ∞ ⁡ ( 32 e - 4 t - 32 ) = - 32

w = - 32   J

Passo 4

Letra c):

Vamos calcular a tensão de acordo com os dados que já temos do enunciado.

v   =   2 ∫ 0 t i d t   +   4

v = 2 ∫ 0 t - 4 e - 2 t   d t   +   4 = - 8 - 2 e - 2 t 0 t + 4

v = 4 e - 2 t 0 t + 4

v = 4 e - 2 t - 4 + 4

Logo, a tensão será:

v = 4 e - 2 t   V

Calculando a potência, temos:

p = v ∙ i = ( 4 e - 2 t   ) - 4 e - 2 t

p = - 16 e - 4 t   W

Para calcular a energia, devemos fazer a integral da potência, como:

w = ∫ 0 t p d t = ∫ 0 t - 16 e - 4 t   d t = - 16 - 4 e - 4 t 0 t

w = 4 e - 4 t - 4

lim n → ∞ ⁡ ( 4 e - 4 t - 4 ) = - 4

w = - 4   J

Prontinho!

Resposta

a. p = 32 e - 4 t   W

w = 8   J

b. p = - 128 e - 4 t   W

w = - 32   J

c. p = - 16 e - 4 t   W

w = - 4   J

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