Enunciado

[a] - Deduza as expressões para as correntes i1(t) e i2(t) para t ≥ 0 .

[b] - Use as expressões deduzidas em (a) para determinar i1( ) e i2( ).

Passo 1

[a] - Seja v a queda de tensão entre os ramos paralelos, positiva no nó superior, então:

- I g + v R g + 1 L 1 ∫ 0 t v   d x + 1 L 2 ∫ 0 t v   d x = 0

Mesmo termo na integral? Podemos usar as propriedades de comutação e associação, logo:

v R g + 1 L 1 + 1 L 2 ∫ 0 t v   d x = I g

Logo, fazendo uma pequena mudança:

v R g + 1 L e q ∫ 0 t v   d x = I g

Derivando:

1 R g d v d t + v L e q = 0

d v d t + R g L e q v = 0

Portanto, v = I g R g e - t / τ → τ = L e q R g , então, nesse caso vamos calcular a i 1 e i 2 :

i 1 = 1 L 1 ∫ 0 t I g R g e - x τ   d x  

i 1 = I g R g L 1 e - x τ - 1 τ ,   d e   0   a   t

i 1 = I g L e q L 1 ( 1 - e - t τ )

Então,

i 1 = I g L 2 L 1 + L 2 1 - e - t τ  

E

i 2 = I g L 1 L 1 + L 2 1 - e - t τ

Passo 2

[b] – Usando as expressões reduzidas, temos:

i 1 ∞ = L 2 L 1 + L 2 I g

E

i 2 ( ∞ ) = L 1 L 1 + L 2 I g

E terminamos a questão, até a próxima!

Resposta

a ) i 1 = I g L 2 L 1 + L 2 1 - e - t τ  

i 2 = I g L 1 L 1 + L 2 1 - e - t τ

b )     i 1 ∞ = L 2 L 1 + L 2 I g

i 2 ( ∞ ) = L 1 L 1 + L 2 I g

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