Enunciado

[a] - Especifique os valores numéricos de I s ,   V 0 ,   R ,   C   e   τ .

[b] - Em quantos microssegundos, após a chave ter sido fechada, a energia armazenada no capacitor atinge 81% do seu valor final?

Passo 1

[a] – Vamos utilizar as seguintes equações aqui: v = I s R + V 0 - I s R e - t / R C e i = I S - V 0 R e - t R C .

O problema já nos dá algumas informações nas equações, então quais são elas?

∴ I s R = 40     e   V 0 - I s R = 24  

∴ V 0 = 16   V

Com isso, podemos perceber que:

I s - V 0 R = 3 × 10 - 3 ;       I s - 16 R = 3 × 10 - 3

R = 40 I s

Continuando com o raciocínio, temos:

I s - 0,4 I s = 3 × 10 - 3 → I s = 5   m A

E com isso, temos:

R = 40 5 × 10 3 = 8 k Ω

Já podemos calcular o quê com essas informações??? Sim, a constante de tempo!, mas de uma forma diferente, pensa assim, eu não tenho o valor do capacitor, mas eu sei que o inverso da constante de tempo é igual a 2500, então eu consigo encontrar o valor do capacitor para depois encontrar a constante de tempo, com as contas fica bem simples de visualizar, let’s go!

1 R C = 2500

C será igual a:

C = 1 2500 R = 10 - 3 20 × 10 3 = 50   n F

Já encontrei o valor do capacitor, agora fica simples encontrar o valor da constante de tempo (Na verdade, já teria o valor da constante de tempo apenas invertendo o valor de 1 R C , mas o problema quer o valor do capacitor também, então o caminho vai ser esse mesmo hehe)

τ = R C = 1 2500 = 400   μ s

Passo 2

[b] – Para a tensão final, V → 40   V , logo:

v ∞ = 40   V

E a energia nesse caso, será de

w ∞ = 1 2 50 × 10 - 9 1600 = 40   μ J

O problema pede 81%, então é multiplicar por 0,81

0,81 w ∞ = 32,5   μ J

Com isso, temos:

v 2 t 0 = 32,4 × 10 - 6 25 × 10 - 9 = 1296 → v t 0 = 36   V

Pegando a equação dada no problema, temos:

40 - 24 e - 2500 t 0 = 36

e 2500 t 0 = 6  

Joga o l n   e tira a exponencial

ln ⁡ e 2500 t 0 = ln ⁡ 6

Vai ficar algo como:

2500 t 0 = ln ⁡ 6 → t 0 = ln ⁡ 6 2500 = 716,60   μ s

Resposta

a )   I s =   5   m A

V 0 = 16   V

R = 8   k Ω

C = 50   n F

τ = 400   μ s

b )   t 0 =   716,60   μ s

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