Enunciado

Determine a transformada de Fourier

f t = cos ⁡ 2 π t u t - u t - 1

Passo 1

Bom, galera, para resolver essa questão, vamos usar a tabela de transformadas de Fourier! Como estamos lidando com o cosseno e a função degrau, vamos usar a seguinte:

F e - a t cos ⁡ ω 0 t u t = a + j ω a + j ω 2 + ω 0 2

Quando a = 0 , chegamos mais próximo da nossa situação real!

F e - 0 t cos ⁡ ω 0 t u t = F [ cos ⁡ ω 0 t u t ] = j ω ω 0 2 - ω 2

Passo 2

A transformada para cos ⁡ 2 π t u ( t ) é dada por:

F cos ⁡ 2 π t u t = j ω 4 π 2 - ω 2

A transformada para cos ⁡ 2 π t u ( t - 1 ) será um pouco diferente. Aqui temos um deslocamento no tempo no degrau unitário, o que vai fazer aparecer uma exponencial na nossa resposta. Assim, temos:

F cos ⁡ 2 π t u t - 1 = e - j ω j ω 4 π 2 - ω 2

F cos ⁡ 2 π t u t - 1 = j ω e - j ω 4 π 2 - ω 2

Assim, o resultado final é:

F ω = j ω 4 π 2 - ω 2 - j ω e - j ω 4 π 2 - ω 2

Resposta

A transformada é igual a:

F ω = j ω 4 π 2 - ω 2 - j ω e - j ω 4 π 2 - ω 2

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