Enunciado

Determine a transformada de Fourier do “pulso de onda senoidal” indicado na Figura 18.36 .

Passo 1

Pessoal, a função que temos desenhada no gráfico é um seno, certo? Vamos escrever ela na forma exponencial complexa:

f t = sin ⁡ π t

f t = e j π t - e - j π t 2 j

Aplicando a transformada de Fourier em f ( t ) , temos:

F ω = ∫ - ∞ ∞ f t e - j ω t d t

F ω = ∫ 0 2 e j π t - e - j π t 2 j e - j ω t d t

F ω = 1 2 j ∫ 0 2 e j π t e - j ω t d t - 1 2 j ∫ 0 2 e - j π t e - j ω t d t

F ω = 1 2 j ∫ 0 2 e j t π - ω d t - 1 2 j ∫ 0 2 e - j t π + ω d t

Passo 2

Integrando, temos:

F ω = 1 2 j e j t π - ω j π - ω 0 2 - 1 2 j e - j t π + ω - j π + ω 0 2

F ω = 1 2 j e j 2 π - ω j π - ω - e 0 j π - ω - e - j 2 π + ω - j π + ω - e 0 - j ( π + ω

F ω = 1 2 j 2 e j 2 π - ω π - ω - 1 π - ω - e - j 2 π + ω - π + ω + 1 - π + ω

F ω = - 1 2 e j 2 π - ω - 1 π - ω + - e - j 2 π + ω + 1 - π + ω

Fazendo o MMC entre as frações:

F ω = - 1 2 - π + ω e j 2 π - ω - 1 + π - ω - e - j 2 π + ω + 1 - ( π 2 - ω 2 )

F ω = 1 2 - π e j 2 π - ω + π - ω e j 2 π - ω + ω - π e - j 2 π + ω + π + ω e - j 2 π + ω - ω π 2 - ω 2

F ω = 1 2 ( π 2 - ω 2 ) [ e - j 2 ω π e j 2 π - ω e j 2 π - π e - j 2 π + ω e - j 2 π + 2 π ]

Multiplicando em cima e embaixo por 2 :

F ω = 1 2 ( π 2 - ω 2 ) e - j 2 ω - 2 π e j 2 π + e - j 2 π 2 - 2 j ω e j 2 π - e - j 2 π 2 + 2 π

F ω = 1 2 π 2 - ω 2 e - j 2 ω - 2 π cos ⁡ 2 π - 2 j ω sen ⁡ 2 π + 2 π

F ω = - 2 π 2 π 2 - ω 2 e - j 2 ω - 1

F ω = π ω 2 - π 2 [ e - j 2 ω - 1 ]

Resposta

A transformada é igual a:

F ω = π ω 2 - π 2 [ e - j 2 ω - 1 ]

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