Enunciado

Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:

a) f ( t ) = t e - a t ;

b) f ( t ) = s e n ω t ;

c) f ( t ) = s e n ( ω t + u ) ;

d) f ( t ) = t ;

e) f ( t ) = c o s h ( t + u ) .

Passo 1

Sabemos que as transformadas de Laplace, em sua grande maioria são tabeladas, então vamos usar algumas transformações prontas quando pudermos pois este é um livro de circuitos, e iremos aproveitar que já passamos (nós passamos?) de equações diferenciais!

Vamos começar pela primeira transformação. Sabemos que a transformada da exponencial multiplicada por um termo t é:

L ( t e - t ) = 1 s 2

Sabendo da propriedade da transformação de Laplace que diz que um produto no domínio do tempo é uma soma no domínio da frequência, podemos facilmente extrair a transformada de t e - a t :

L ( t e - a t ) = 1 ( s + a ) 2

Passo 2

A transformada do seno já é tabelada, pois é calculada com frequência, então vamos escrevê-la:

L ( s e n ( t ) ) = 1 ( s 2 + 1 )

Porém o argumento do seno é multiplicado por um ômega. Substituindo o ômega:

L ( s e n ( ω t ) ) = ω ( s 2 + ω 2 )

Passo 3

Nessa letra c) não temos a transformada dessa função já tabelada. Vamos então manipular essa expressão até que chegaremos em uma função tabelada. Pela identidade do seno, podemos escrever:

s e n ( ω t + θ ) = s e n ( ω t ) c o s ( θ ) + c o s ( ω t ) s e n ( θ )

Bingo! ambas as funções que dependem de ω já temos tabeladas. Basta calcular a transformada delas agora:

L ( s e n ( ω t + θ ) ) = c o s ( θ ) L ( s e n ( ω t ) ) + s e n ( θ ) L ( c o s ( ω t ) )

Na tabela conhecemos a transformada de seno e de cosseno:

L ( s e n ( ω t ) ) = ω s 2 + ω 2

e a do cosseno:

L ( c o s ( ω t ) ) = s s 2 + ω 2

Juntando tudo isso na expressão completa ficamos com:

L ( s e n ( ω t + θ ) ) = c o s ( θ ) ω s 2 + ω 2 + s e n ( θ ) s s 2 + ω 2

Já está transformado mas podemos reduzir essa expressão:

L ( s e n ( ω t + θ ) ) = ω c o s ( θ ) + s e n ( θ ) s s 2 + ω 2

Ufa!

Passo 4

A transformada de t já é tabelada, então vamos colocar ela diretamente na nossa resposta ;)

L ( t ) = 1 s 2

Passo 5

A transformada do cosseno hiperbólico é tabelada mas somada com um argumento extra não é. Mas não criemos pânico, vamos usar a mesma estratégia feita na letra c). Escrevendo primeiro a identidade do cosseno hiperbólico:

c o s h ( t + θ ) = c o s h ( θ ) c o s h ( t ) + s e n h ( θ ) s e n h ( t )

A transformada do cosseno hiperbólico é conhecida:

L ( c o s h ( t ) ) = s s 2 - 1

A do seno hiperbólico também:

L ( s e n h ( t ) ) = 1 s 2 - 1

Podemos rescrever a expressão da transformada agora com a identidade:

L ( c o s h ( t + θ ) ) = L ( c o s h ( θ ) c o s h ( t ) ) + L ( s e n h ( θ ) s e n h ( t ) )

Reduzindo a expressão:

L ( c o s h ( t + θ ) ) = c o s h ( θ ) L ( c o s h ( t ) ) + s e n h ( θ ) L ( s e n h ( t )

Como conhecemos as transformadas dos elementos que dependem de t, podemos substituir:

L ( c o s h ( t + θ ) ) = c o s h ( θ ) s s 2 - 1 + s e n h ( θ ) 1 s 2 - 1

Podemos reduzir a expressão:

L ( c o s h ( t + θ ) ) = s e n h ( θ ) + c o s h ( θ ) s s 2 - 1

Resposta

a)

L ( t e - a t ) = 1 ( s + a ) 2

b)

L ( s e n ( ω t ) ) = ω ( s 2 + ω 2 )

c)

L ( s e n ( ω t + θ ) ) = ω c o s ( θ ) + s e n ( θ ) s s 2 + ω 2

d)

L ( t ) = 1 s 2

e)

L ( c o s h ( t + θ ) ) = s e n h ( θ ) + c o s h ( θ ) s s 2 - 1

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