Enunciado

A fonte de 240 V, e resistência interna de 2 V, no circuito da Figura P7.20, sofre inadvertidamente um curto-circuito em seus terminais a,b. No instante em que a falha ocorre, o circuito estava em funcionamento havia um longo tempo. a) Qual é o valor inicial da corrente i ab de curto-circuito entre os terminais a,b? b) Qual é o valor final da corrente i ab? c) Em quantos microssegundos, depois de o curto-circuito ter ocorrido, a corrente de curto atinge 114 A?

Passo 1

[a] – t < 0 : Nesse caso, o circuito se comportará da seguinte forma:

Lembre-se, indutores se comportam como curto depois de muito tempo em um estado de estabilidade (ou seja, uma corrente contínua) e como circuito aberto em transições “rápidas” como funções degrau, rampa e et cetera.

t = 0 + :

120 = i a b + 18 + 12

i a b   = 90   A ,     t = 0 +

Passo 2

[b] - t = ∞ :

A corrente sempre escolher o local que se tenha menos resistência, e no curto entre a e b seria o ideal para ela. Com isso, pelos resistores não passam corrente, então:

i a b = 240 2 = 120   A ,     t = ∞

Passo 3

[c] - O circuito se comportará da seguinte maneira:

Com isso, podemos calcular i 1 e i 2 :

i 1 0 = 18 ,       τ 1 = 2 × 10 - 3 10 = 0.2   m s

i 2 0 = 12 ,     τ 2 = 6 × 10 - 3 15 = 0.4   m s  

Já se tendo as informações das correntes iniciais e das constantes de tempo, então já se pode substituir na fórmula de i ( t ) , dessa forma:

i 1 t = 18 e - 5000 t   A ,     t ≥ 0  

E para i 2 :

i 2 t = 12 e - 5000 t   A ,     t ≥ 0  

No caso de i a b , temos aquela equação que já tinha sido encontrada na letra a (essa aqui 120 = i a b + 18 + 12 , logo, passando para um momento de instante de tempo qualquer, temos a equação:

i a b = 120 - 18 e - 5000 t - 12 e - 2500 t = 114

6 = 18 e - 5000 t + 12 e - 2500 t  

Isso parece ser algo conhecido e fácil de ser resolvido, então fazendo a substituição, podemos obter:

V a m o s   x = e - 2500 t → 6 = 18 x 2 + 12 x

R e s o l v e n d o   x = 1 3 = e - 2500 t

e 2500 t = 3 → t = l n l n   3   2500 = 439.44   μ s

Passo 4

Resposta

a )   i a b   = 90   A ,     t = 0 +

b )   i a b = 120   A ,     t = ∞

c )   t = l n l n   3   2500 = 439.44   μ s

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