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O interruptor da Figura 8.105 se encontrava na posição 1 para t < 0 . Em t = 0 , ela muda instantaneamente para o terminal superior do capacitor. Observe que o interruptor fecha um contato (no terminal do capacitor) antes de abrir o outro (posição 1). Determine v ( t ) .

Passo 1

Bom, seja v a tensão no capacitor e i a corrente no indutor. No tempo t = 0 - , a chave está na posição 1 e o circuito em regime permanente, logo o capacitor se comporta como circuito aberto e o indutor como um fio. Portanto,

v 0 - = 0   V

i 0 - = 40 4 + 16 = 2 A

Quando t > 0 , a chave muda para a posição 2 e passamos a ter um circuito RLC série, sem a presença de fontes. Desse modo, vamos descobrir os valores de α e ω 0 para encontrarmos a equação de i t .

α = R 2 L = 1 6 2 × 4 = 2

ω 0 = 1 L C = 1 4 1 / 16 = 2

Portanto, como α = ω 0 ,

i t = A e - 2 t + B t e - 2 t

Para t = 0 ,

i 0 = 2 = A

Passo 2

Se derivarmos a expressão para i ( t ) , teremos:

d i d t = - 2 A e - 2 t - 2 B t e - 2 t + B e - 2 t

Quando t = 0 ,

d i 0 d t = - 2 A + B

Vocês lembrando que a tensão no indutor é dada por v L = L d i d t , certo? Vamos substituir essa equação na anterior:

v L L = - 2 A + B

- 1 L R i 0 - v 0 = - 2 A + B

- 2 A + B = - 1 4 32 - 0

B = - 4

Nos levando a escrever a equação final para a corrente:

i t = 2 e - 2 t - 4 t e - 2 t

Passo 3

A tensão v ( t ) pode ser escrita como a soma das quedas de tensão no resistor e no indutor. Assim, temos:

v t = L d i d t + R i

v t = 4 - 4 e - 2 t - 4 e - 2 t + 8 t e - 2 t + 16 2 e - 2 t - 4 t e - 2 t

v t = 4 - 8 e - 2 t + 8 t e - 2 t + 32 e - 2 t - 64 t e - 2 t

v t = - 32 e - 2 t + 32 t e - 2 t + 32 e - 2 t - 64 t e - 2 t

v t = - 32 t e - 2 t   V

Resposta

A tensão é igual a:

v t = - 32 t e - 2 t   V

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