Enunciado

Mostre que o 2 máximo valor da potência instantânea dada pela Equação 10.9 é P + P 2 + Q 2 e que o valor mínimo é P - P 2 + Q 2

Passo 1

Vamos relembrar primeiro a equação da potência instantânea nos termos de P e Q:

p = P + P c o s 2 ω t - Q s e n 2 ω t

Se quisermos o valor máximo da potência precisamos derivar a expressão e igualar à zero:

d p d t = - 2 ω P s e n 2 ω t - 2 ω Q c o s 2 ω t = 0

Essa expressão só é igual a zero se - 2 ω P s e n 2 ω t = 2 ω Q c o s 2 ω t

Passo 2

Lembrando do triângulo das potências temos uma equação para c o s 2 ω t e outra para s e n 2 ω t :

c o s 2 ω t = P P 2 + Q 2

Agora para s e n 2 ω t :

s e n 2 ω t = - Q P 2 + Q 2

Com essas duas equações conseguimos visualizar que a potência é máxima quando 2 ω t = 0 , pois o cosseno fica igual a 1, e é mínima quando 2 ω t = π , pois o seno é 1 neste caso. Desse jeito vamos reescrever a equação de p para os casos mínimo e máximo no próximo passo

Passo 3

Escrevendo a equação de p para o valor máximo:

p m a x = P + P P P 2 + Q 2 - Q * ( - Q ) P 2 + Q 2

Rearranjando os termos:

p m a x = P + P 2 + Q 2 P 2 + Q 2

Racionalizando essa fração temos, finalmente:

p m a x = P + P 2 + Q 2

Feito! Agora só precisamos provar a mesma coisa para o caso mínimo. Vamos escrever a equação para esse caso:

p m i n = P - P P P 2 + Q 2 - Q * ( - Q ) P 2 + Q 2

Se repararmos é praticamente a mesma equação para o caso máximo, então que tal seguirmos os mesmos passos? Vamos rearranjar os termos da mesma forma:

p m i n = P - P 2 + Q 2 P 2 + Q 2

E vamos racionalizar também:

p m i n = P - P 2 + Q 2

Feito! Um pouco de algebrismo aqui e ali que conseguimos

Resposta

p m a x = P + P 2 + Q 2

p m i n = P - P 2 + Q 2

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