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Enunciado

Mostre que x 1 = A 1 e - 2 t e x 2 = A 2 e - 3 t são soluções de

d 2 x d t 2 + 5 d x d t + 6 x = 0

Independentemente do valor das constantes A 1 e A 2 .

Passo 1

E aí pessoal,

para provar que essas funções x ( t ) dadas são soluções dessa equação diferencial, vamos substituir os seus valores e das suas derivadas primeira e segunda na equação diferencial dada e verificar se a igualdade será mantida.

Começaremos por x 1 = A 1 e - 2 t

Passo 2

Para substituir x 1 e suas derivadas, vamos primeiro calcular essas derivadas:

x 1 = A 1 e - 2 t

d x 1 d t = A 1 × - 2 × e - 2 t = - 2 A 1 e - 2 t

d 2 x 1 d t 2 = - 2 A 1 × - 2 × e - 2 t = 4 A 1 e - 2 t

Sendo assim, ao substituir esses valores na equação diferencial, teremos:

d 2 x 1 d t 2 + 5 d x 1 d t + 6 x 1 = 0

4 A 1 e - 2 t + 5 - 2 A 1 e - 2 t + 6 A 1 e - 2 t = 0

A 1 e - 2 t 4 - 10 + 6 = 0

A 1 e - 2 t 0 = 0

0 = 0

Opa, a igualdade foi mantida, isso é, o lado esquerdo e o lado direito da equação são iguais, por isso provamos que x 1 é uma resposta e além disso, como o valor de A 1 não foi mantido até o final das contas, também provamos que qualquer valor de A 1 satisfaz a equação.

Passo 3

Repetindo agora o mesmo procedimento para verificar se x 2 é uma resposta válida.

x 2 = A 2 e - 3 t

d x 2 d t = - 3 A 2 e - 3 t

d 2 x 2 d t 2 = - 3 A 2 × - 3 × e - 3 t = 9 A 2 e - 3 t

Substituindo na equação diferencial:

d 2 x 2 d t 2 + 5 d x 2 d t + 6 x 2 = 0

9 e - 3 t + 5 - 3 A 2 e - 3 t + 6 A 2 e - 3 t = 0

e - 3 t 9 - 15 + 6 = 0

e - 3 t 0 = 0

0 = 0

Assim como no final do Passo 2, também provamos aqui que x 2 é uma solução possível e que não depende do valor da constante A 2 .

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