Enunciado

Obtenha i_1 e i_2 para t > 0 no circuito da Figura 8.106 .

Passo 1

Pessoal, no tempo t = 0^- , a fonte de corrente não funciona, logo não há corrente circulando pelo circuito. Portanto,

i_1 (0^-) = i_2 ( 0^- ) = 0 A

Quando t > 0 , a fonte de corrente passa a fornecer uma corrente I_S = 4 A . A tensão no primeiro indutor se torna igual a:

v_L 1 = L_1 (d i_1)/(d t)

Como L_1 = 1 H ,

v_L 1 = (d i_1)/(d t)

A tensão no segundo indutor se torna igual a:

v_L 2 = L_2 (d i_2)/(d t)

Como L_2 = 1 H ,

v_L 2 = (d i_2)/(d t)

A tensão no resistor de 2 Ω é a mesma do primeiro indutor, pois estão conectados em paralelo!

Passo 2

Vamos aplicar a lei dos nós para o nó acima do resistor de 2 Ω .

I_s = i_R 2 + i_1 + i_2

Mas quem é i_R 2 ? Vamos descobrir pela lei de Ohm!

v = R i

v_L 1 = R_2 Ω i_R 2

i_R 2 = (v_L 1)/(R_2 Ω) = (1)/(2) (d i_1)/(d t) = 0,5 (d i_1)/(d t)

Voltando na equação das correntes:

4 = 0,5 (d i_1)/(d t) + i_1 + i_2 ... ( 1 )

Aplicando a lei das malhas para a malha mais à direita:

v_L 1 + v_R 3 = v_L 2

(d i_1)/(d t) - 3 i_2 = (d i_2)/(d t) ... ( 2 )

Passo 3

Vamos pegar aquela equação (1) e derivar em relação a t :

4 = 0,5 (d i_1)/(d t) + i_1 + i_2

0 = 0,5 (d^2 i_1)/(d t^2) + (d i_1)/(d t) + (d i_2)/(d t) ... ( 3 )

Ainda dessa equação das correntes, podemos extrair que i_2 = 4 - i_1 - 0,5 (d i_1)/(d t) . Assim, substituindo em (2)

(d i_1)/(d t) - 3 i_2 = (d i_2)/(d t) -> (d i_1)/(d t) - 3 (4 - i_1 - 0,5 (d i_1)/(d t)) = (d i_2)/(d t)

(d i_2)/(d t) = - 2,5 (d i_1)/(d t) + 3 i_1 - 12 ... ( 4 )

Substituindo a equação (4) na equação (2):

0,5 (d^2 i_1)/(d t^2) + (d i_1)/(d t) + 2,5 (d i_1)/(d t) + 3 i_1 - 12 = 0

0,5 (d^2 i_1)/(d t^2) + 3,5 (d i_1)/(d t) + 3 i_1 = 12

Dividindo tudo por 0,5 ,

(d^2 i_1)/(d t^2) + 7 (d i_1)/(d t) + 6 i_1 = 24

Passo 4

A partir da equação anterior, conseguimos extrair a equação característica do circuito:

s^2 + 7 s + 6 = 0

As raízes são:

s_1 = - 1 ; s_2 = - 6 ... ( 5 )

Assim, i_1 ( t ) é dada por:

i_1 (t) = I_S + A_1 e^(s_1 t) + A_2 e^(s_2 t)

i_1 (t) = 4 + A_1 e^(- t) + A_2 e^(- 6 t) ... (6)

Quando t = 0 ,

4 + A_1 + A_2 = 0 ... ( 7 )

Passo 5

Da equação (1), podemos tirar a seguinte expressão:

i_2 (t) = 4 - i_1 (t) - 0,5 (d i_1)/(d t)

i_2 (t) = 4 - 4 - A_1 e^(- t) - A_2 e^(- 6 t) + 0,5 A_1 e^(- t) + 3 A_2 e^(- 6 t)

i_2 (t) = - 0,5 A_1 e^(- t) + 2 A_2 e^(- 6 t) ... (8)

Quanto t = 0 ,

- 0,5 A_1 + 2 A_2 = 0 ... ( 9 )

Das equações ( 7 ) e ( 9 ) , nós podemos montar um sistema de equações para encontrar A_1 e A_2 .

{[[4 + A_1 + A_2 = 0],[- 0,5 A_1 + 2 A_2 = 0]])

A_1 = - 3,2 e A_2 = - 0,8

Desse modo,

i_1 (t) = 4 - 3,2 e^(- t) - 0,8 e^(- 6 t) A

i_2 (t) = - 1,6 (e^(- t) + e^(- 6 t)) A

Resposta

As correntes são iguais a:

i_1 (t) = 4 - 3,2 e^(- t) - 0,8 e^(- 6 t) A

i_2 (t) = - 1,6 (e^(- t) + e^(- 6 t)) A

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