Enunciado

No circuito da Figura 8.92 , determine v ( t ) e i ( t ) para t > 0 . Suponha que v 0 = 0   V e i 0 = 1   A .

Passo 1

Galerinha, vamos lá. A primeira coisa que podemos começar a fazer é analisar os valores de α e ω 0 e achar as raízes características:

α = 1 2 R C = 1 2 2 0,5 = 0,5

ω 0 = 1 L C = 1 1 0,5 = 2

Como temos que α < ω 0 , a resposta do circuito é subamortecida. Assim,

s 1,2 = - α ± ω 0 2 - α 2 = - 0,5 ± j 1,3229

Passo 2

Portanto, a equação da nossa corrente será da forma:

i t = I s + A cos ⁡ 1,3229 t + B sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t ,   o n d e   I s = 4

Para o instante inicial t = 0 , o enunciado já nos forneceu o valor da corrente! Assim, substituindo na expressão acima t = 0 , obtemos:

i 0 = 1 = 4 + A

A = - 3

A mesma análise inicial também foi feita para a tensão. Sabemos que, em t = 0 , v 0 = 0 . Como temos nossos três elementos do circuito em paralelo, todos eles estão sob a mesma tensão, ou seja

v R = v L = v C = v

Portanto, podemos escrever o seguinte:

v 0 = 0 = L d i 0 d t

Vamos calcular a derivada da corrente?

d i d t = 1,3229 - A sin ⁡ 1,3229 t + B cos ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t + - 0,5 A cos ⁡ 1,3229 t + B sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t

Quando t = 0 ,

d i 0 d t = 0 = 1,3229 B - 0,5 A

B = 0,5 - 3 1,3229

B = - 1,1339

Assim, nossa corrente tem a seguinte cara:

i t = 4 - 3 cos ⁡ 1,3229 t + 1,1339 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t

Passo 3

Agora que já temos nossa corrente, só nos resta encontrar a tensão v ( t ) . Como dito no passo anterior, as tensões em cada um dos componentes são iguais, uma vez que todos estão em paralelo. Portanto, vamos usar o indutor para encontrar esse valor, uma vez que por ele, a conta depende da corrente (que já temos) e do valor da indutância!

v = v L = L d i d t

No passo 2, nós calculamos o valor da derivada da corrente. Nos resultou no seguinte:

d i d t = 1,3229 3 sin ⁡ 1,3229 t - 1,1339 cos ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t + - 0,5 - 3 cos ⁡ 1,3229 t - 1,1339 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t

Se multiplicarmos essa expressão por L , teremos nossa tensão!

v t = L d i d t = 0,5 1,3229 3 sin ⁡ 1,3229 t - 1,1339 cos ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t + - 0,5 - 3 cos ⁡ 1,3229 t - 1,1339 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t

v t = - 0 cos ⁡ 1,323 t + 4,536 sin ⁡ 1,323 t e - 0,5 t

v t = 4,536 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t   V

Resposta

Os valores para a corrente e tensão são:

i t = 4 - 3 cos ⁡ 1,3229 t + 1,1339 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t   A

v t = 4,536 sin ⁡ 1,3229 t e - 0,5 t   V

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Encontre a resposta v R ( t ) para t0 no circuito da figura 8.107 . Seja R = 3Ω ,L = 2H e C = 1 18F .
Para o circuito da Figura 8.115 , use o PSpice ou MultiSim para obter v ( t ) para 0t4 s . Suponha que tanto a tensão no capacitor como a corrente no indutor em t = 0 sejam nulas.
Para a função degrau v s = u ( t ) , use o PSpice ou o MultiSim para determinar a resposta v ( t ) para 0t6s no circuito da Figura 8.113 .
Obtenha v ( t ) para 0t4s no circuito da Figura 8.116 usando o PSpice ou o MultiSim.
A chave na Figura 8.117 se encontrava na posição 1 por um longo período. Em t = 0 , ela é mudada para a posição 2 . Use o PSpice ou o MultiSim para determinar i ( t ) para 0t0,2s .