Enunciado

Se x 0 = 4 e d x 0 d t = - 2 , calcule a solução completa no Ex. 9.5.1.

Passo 1

Então pessoal, agora vamos usar esses valores iniciais dados para encontrar as nossas respostas naturais, que somadas com as respostas forçadas que encontramos anteriormente, darão a resposta completa das nossas Equações Diferenciais.

O primeiro passo aqui será encontrar a sua resposta natural e para isso você irá solucionar a sua equação característica (obtida a partir da equação diferencial dada):

s 2 + 4 s + 3 s = 0

Δ = 16 - 12

Δ = 4

s = - 4 ± 4 2

s ' = - 1   ∴   s ' ' = - 3

Dessa forma, teremos a seguinte resposta natural:

x n t = A 1 e - t + A 2 e - 3 t

E a resposta completa será:

x t = x n t + x f t

Passo 2

Na letra (a), tínhamos que a resposta forçada era:

x f = 2

Portanto, temos a seguinte resposta completa:

x t = A 1 e - t + A 2 e - 3 t + 2

Usando as condições iniciais para encontrar A 1 e A 2 , teremos:

x 0 = A 1 + A 2 + 2 = 4

A 1 + A 2 = 2

A 1 = 2 - A 2

d x 0 d t = - A 1 - 3 A 2 = - 2

Substituindo o valor de A 1 da anterior, temos:

- 2 + A 2 - 3 A 2 = - 2

- 2 A 2 = 0

A 2 = 0

E, portanto, A 1 será:

A 1 = 2 - 0 = 2

Dessa forma, a solução completa é:

x t = 2 e - t + 2

Passo 3

Na letra ( b ) , temos que a resposta forçada foi:

x f t = - 8 e - 2 t

Portanto, a resposta completa é:

x ( t ) = A 1 e - t + A 2 e - 3 t - 8 e - 2 t

Usando as condições iniciais, teremos:

x 0 = A 1 + A 2 - 8 = 4

A 1 = 12 - A 2

d x 0 d t = - A 1 - 3 A 2 + 16 = - 2

Substituindo o valor de A 1 encontrado:

- 12 + A 2 - 3 A 2 + 16 = - 2

- 2 A 2 = - 6

A 2 = 3

E portanto, A 1 vai ser:

A 1 = 12 - 3 = 9

Logo, a resposta completa é:

x t = 9 e - t - 8 e - 2 t + 3 e - 3 t

Passo 4

Na letra ( c ) , a nossa resposta forçada foi:

x f t = 2 t + 2

Portanto, a resposta completa é:

x t = A 1 e - t + A 2 e - 3 t + 2 t + 2

Usando os valores iniciais, teremos:

x 0 = A 1 + A 2 + 2 = 4

A 1 = 2 - A 2

d x 0 d t = - A 1 - 3 A 2 + 2 = - 2

Trazendo o valor de A 1 e substituindo, temos:

- 2 + A 2 - 3 A 2 = - 4

- 2 A 2 = - 2

A 2 = 1

E portanto, A 1 será:

A 1 = 2 - 1 = 1

Logo, a resposta completa é:

x t = e - t + e - 3 t + 2 t + 2

Resposta

a )

x t = 2 e - t + 2

b )

x t = 9 e - t - 8 e - 2 t + 3 e - 3 t

c )

x t = e - t + e - 3 t + 2 t + 2

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