Enunciado

Calcule a resposta forçada se

d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 3 x = f t

Onde f ( t ) é dada por a   6 ,   b 8 e - 2 t ,   c 6 t + 14 .

Passo 1

Então pessoal, para cada tipo de f ( t ) , nós tentaremos respostas forçadas diferentes. Vamos usar a seguinte tabela para isso:

Como cada caso é um caso, vamos começar pela letra ( a ) .

Passo 2

Na letra ( a ) , temos que a f ( t ) é uma constante igual a 6 , por isso, tentaremos uma resposta forçada que também é uma constante e que resolva a equação diferencial.

x f = A

d x f d t = 0 ; d 2 x f d t 2 = 0

Logo, substituindo na nossa equação, teremos:

0 + 0 + 3 A = 6

A = 2

Portanto, nesse caso, a resposta forçada é:

x f = 2

Passo 3

Na letra ( b ) , temos que nossa f ( t ) é uma exponencial com o expoente igual a - 2 , portanto nossa resposta forçada também será:

x f t = A e - 2 t

d x f t d t = - 2 A e - 2 t

d 2 x f t d t 2 = 4 A e - 2 t

Substituindo na nossa equação, teremos:

4 A e - 2 t + 4 - 2 A e - 2 t + 3 A e - 2 t = 8 e - 2 t

Podemos simplificar e cortar a exponencial que aparece em todos os termos:

4 A - 8 A + 3 A = 8

- A = 8

A = - 8

Portanto a resposta forçada será:

x f t = - 8 e - 2 t

Passo 4

Na letra ( c ) , temos que nossa f ( t ) é uma equação de primeiro grau, portanto nossa resposta forçada também será:

x f t = A t + B

d x f t d t = A

d 2 x f t d t 2 = 0

Substituindo em nossa equação diferencial, teremos:

0 + 4 A + 3 A t + B = 6 t + 14

4 A + 3 B + 3 A t = 6 t + 14

Para que a igualdade acima seja mantida para qualquer valor de t , é necessário que, todos os termos sem t da esquerda sejam iguais ao da direita, assim como os termos com t da esquerda sejam iguais ao da direita, isso é:

4 A + 3 B = 14

3 A t = 6 t

Da segunda equação, temos que:

3 A = 6

A = 2

E substituindo na primeira, teremos:

4 2 + 3 B = 14

8 + 3 B = 14

3 B = 6

B = 2

Portanto, a nossa resposta forçada será:

x f t = 2 t + 2

Resposta

a )

x f = 2

b )

x f t = - 8 e - 2 t

c )

x f t = 2 t + 2

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