Enunciado

Se a tensão nodal no nó b da Fig. 9.3 é v 1 , mostre que as duas equações nodais são

v - v g 4 + v - v 1 R + 1 4 d v d t = 0

E

v 1 - v g R + ∫ 0 t v 1 d t + i 0 = 0

Diferencia a segunda destas equações e substitua no resultado valor de v 1 da primeira equação para obter uma equação originada da Fig. 9.3

Passo 1

Beleza, primeiro passo aqui vai ser encontrar as nossas equações nodais olhando para o circuito dado e então, vamos fazer o que é pedido no enunciado para obter a equação final.

O circuito dado é:

Avaliando o nó a , temos que as correntes que chegam e saem desse nó são:

i 4 Ω + i R + i 1 4 F = 0

E sabendo que no nó a , a tensão é igual a v e que no nó b a tensão é igual a v 1 , teremos:

v - v g 4 + v - v 1 R + 1 4 d v d t = 0

Também podemos avaliar o nó b , onde teremos as correntes:

i R + i 1 H = 0

v 1 - v R + ∫ 0 t v 1 d t + i 1 H 0 = 0

Pelo desenho, temos que a corrente do indutor é a corrente i indicada, portanto:

v 1 - v R + ∫ 0 t v 1 d t + i 0 = 0

Passo 2

Pronto, mostramos que temos as duas equações nodais a partir da análise do nó a e do nó b do nosso circuito, agora, vamos fazer conforme pedido no enunciado, diferenciar a segunda equação e então substituir v 1 na primeira.

Diferenciando a segunda equação:

d d t × v 1 - v R + ∫ 0 t v 1 d t + i 0 = 0

1 R d v 1 d t - d v d t + v 1 + 0 = 0

v 1 = 1 R d v d t - d v 1 d t

Agora vamos obter o valor de v 1 a partir da primeira equação, o que temos é:

v - v g 4 + v - v 1 R + 1 4 d v d t = 0

Multiplicando por 4 para retirar as frações:

v - v g + 4 v R - 4 v 1 R + d v d t = 0

4 v 1 R = v - v g + 4 v R + d v d t

v 1 = R 4 v - R 4 v g + v + R 4 d v d t

Podemos também diferenciar essa equação, afim de obter d v 1 d t

d v 1 d t = R 4 d v d t - R 4 d v g d t + d v d t + R 4 d 2 v d t

Como v g é a tensão da fonte, que é contínua, sua derivada é zero.

d v 1 d t = R 4 d v d t + d v d t + R 4 d 2 v d t 2

Passo 3

Substituindo v 1 e d v 1 / d t na segunda equação, teremos:

v 1 = 1 R d v d t - d v 1 d t

R 4 v - R 4 v g + v + R 4 d v d t = 1 R d v d t - R 4 d v d t + d v d t + R 4 d 2 v d t 2

R 4 v - R 4 v g + v + R 4 d v d t = 1 R d v d t - 1 4 d v d t - 1 R d v d t - 1 4 d 2 v d t 2

E por fim, agrupando termos, teremos:

1 4 d 2 v d t + R 4 + 1 4 d v d t + R 4 + 1 v = R 4 v g

E pra deixar bonito, podemos multiplicar por 4 para deixar a segunda derivada sozinha.

d 2 v d t + R + 1 d v d t + R + 4 v = R v g

Resposta

d 2 v d t + R + 1 d v d t + R + 4 v = R v g

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