[0, 75pts] Considere a seguinte EDO de primeira ordem:
Use a substituição do tipo
; para encontrar a solução implícita da EDO acima.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para encontrar a solução implícita usando uma substituição do tipo
com
.
Informações relevantes:
- A EDO relaciona
com , ou seja, o argumento do cosseno é . - A substituição permitida é
(com ). Podemos escolher de modo conveniente para simplificar a expressão . - O objetivo final é obter uma solução implícita (uma relação entre
e envolvendo uma constante de integração).
Passo 2
Escolha da substituição. Como o argumento do cosseno é
, uma escolha natural que simplifica imediatamente esse argumento é
Isto corresponde a escolher
,
,
na forma
. Essa escolha torna
, o que facilita muito a resolução.
Passo 3
Relacionar
com
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Isolando
fica
Passo 4
Substituir na EDO original. A EDO dada é
. Usando
e a expressão do passo anterior,
Passando o
para o outro lado,
Passo 5
Separar variáveis. A equação
é separável. Podemos escrever
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 6
Calcular a integral do lado esquerdo. Usamos a identidade trigonométrica
Logo
Assim a integral fica
Para integrar
use a substituição direta da forma conhecida:
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Integrando o lado direito temos
. Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só) obtemos
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 8
Voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é a solução implícita procurada. Se desejar a forma explícita em
, isolamos
: