[0, 75pts] Considere a seguinte EDO de primeira ordem:
\mathrm{EDO}: \frac{d y}{d x}=\cos (x+y) .
Use a substituição do tipo u=a x+b y+c, \operatorname{com} b \neq 0; para encontrar a solução implícita da EDO acima.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\cos(x+y)
e pede para encontrar a solução implícita usando uma substituição do tipo u=a x+b y+c com b\neq0.
Informações relevantes:
  • A EDO relaciona \dfrac{dy}{dx} com \cos(x+y), ou seja, o argumento do cosseno é x+y.
  • A substituição permitida é u=a x+b y+c (com b\neq0). Podemos escolher a,b,c de modo conveniente para simplificar a expressão x+y.
  • O objetivo final é obter uma solução implícita (uma relação entre x e y envolvendo uma constante de integração).

Passo 2

Escolha da substituição. Como o argumento do cosseno é x+y, uma escolha natural que simplifica imediatamente esse argumento é
u = x+y.
Isto corresponde a escolher a=1, b=1, c=0 na forma u=a x+b y+c. Essa escolha torna \cos(x+y)=\cos(u), o que facilita muito a resolução.

Passo 3

Relacionar du/dx com dy/dx. Diferenciando \,u=x+y\, em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} fica
\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}-1.

Passo 4

Substituir na EDO original. A EDO dada é \dfrac{dy}{dx}=\cos(x+y). Usando u=x+y e a expressão do passo anterior,
\frac{du}{dx}-1=\cos(u).
Passando o 1 para o outro lado,
\frac{du}{dx}=1+\cos(u).

Passo 5

Separar variáveis. A equação \dfrac{du}{dx}=1+\cos(u) é separável. Podemos escrever
\frac{du}{1+\cos(u)}=dx.
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 6

Calcular a integral do lado esquerdo. Usamos a identidade trigonométrica
1+\cos(u)=2\cos^2\!\left(\frac{u}{2}\right).
Logo
\frac{1}{1+\cos(u)}=\frac{1}{2\cos^2\!\left(\frac{u}{2}\right)}=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{u}{2}\right).
Assim a integral fica
\int\frac{du}{1+\cos(u)}=\int\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{u}{2}\right)\,du.
Para integrar \operatorname{sec}^2\!\left(\frac{u}{2}\right) use a substituição direta da forma conhecida: \dfrac{d}{du}\tan\!\left(\frac{u}{2}\right)=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{u}{2}\right). Portanto
\int\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{u}{2}\right)\,du=\tan\!\left(\frac{u}{2}\right)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Integrando o lado direito temos \int dx = x + C_1. Igualando as integrais (absorvendo constantes numa só) obtemos
\tan\!\left(\frac{u}{2}\right)=x+C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 8

Voltar à variável original y. Lembrando que u=x+y, substituímos de volta:
\tan\!\left(\frac{x+y}{2}\right)=x+C.
Essa é a solução implícita procurada. Se desejar a forma explícita em y, isolamos y:
\frac{x+y}{2}=\arctan(x+C)\quad\Rightarrow\quad y=2\arctan(x+C)-x.

Resposta

\displaystyle \tan\!\left(\frac{x+y}{2}\right)=x+C

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