[0,75pts] Considere a EDO de primeira ordem geral
Mostre que a EDO abaixo não é exata e use
como o fator integrante que tornará a nova EDO exata:
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede duas coisas: mostrar que essa EDO não é exata e usar
como fator integrante que torne a nova EDO exata.
As informações relevantes (peguei do enunciado) são:
-
. -
.
Passo 2
Lembrete rápido sobre exatidão (explicando devagar): uma equação do tipo
é exata em um domínio quando existe uma função
tal que
Uma condição prática (e necessária) para exatidão, quando
e
têm derivadas parciais contínuas, é
Isto vem de igualar
com
.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais dadas:
Agora
. Diferenciando em relação a
(tratando
como constante):
Como
essas quantidades não são iguais em geral. Portanto a EDO original NÃO é exata.
Passo 4
O que é um fator integrante? É uma função
tal que ao multiplicar a EDO obtemos
que seja exata, isto é, que satisfaça
Nesse exercício o enunciado já nos fornece a candidata
Vamos checar que ela realmente funciona.
Passo 5
Multiplico
e
por
. Primeiro
E
Passo 6
Agora calculo as derivadas parciais da nova equação:
E
Como
a equação multiplicada por
é exata. Sucesso:
é de fato um fator integrante.
Passo 7
Agora resolvemos a EDO exata resultante. Procuramos
tal que
Integro
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é função de
só (constante de integração em relação a
).
Passo 8
Consistência: derivo
obtida em relação a
e igualo a
:
Mas deve valer
. Logo
Integrando:
Portanto a função potencial é
Passo 9
A solução geral implícita da EDO (após multiplicar pelo fator integrante) é
ou seja
que é a família de curvas que satisfaz a EDO original quando
.
Resposta
A EDO não é exata porque
e
, que são diferentes.
Multiplicando por obtém-se equação exata com potencial
; solução implícita
.
Multiplicando por