[0,75pts] Considere a EDO de primeira ordem geral
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 .
Mostre que a EDO abaixo não é exata e use \mu(x, y)=\frac{x}{y^{2}} como o fator integrante que tornará a nova EDO exata:
\text { EDO: }(-2 y) d x+\left(x+\frac{y^{3}}{x}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(-2y)\,dx+\left(x+\frac{y^{3}}{x}\right)\,dy=0
e pede duas coisas: mostrar que essa EDO não é exata e usar \mu(x,y)=\dfrac{x}{y^{2}} como fator integrante que torne a nova EDO exata.
As informações relevantes (peguei do enunciado) são:
  • M(x,y)=-2y.
  • N(x,y)=x+\dfrac{y^{3}}{x}.

Passo 2

Lembrete rápido sobre exatidão (explicando devagar): uma equação do tipo
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata em um domínio quando existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Uma condição prática (e necessária) para exatidão, quando M e N têm derivadas parciais contínuas, é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Isto vem de igualar \partial^2\Phi/\partial y\partial x com \partial^2\Phi/\partial x\partial y.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais dadas:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(-2y\big)=-2.
Agora \displaystyle N(x,y)=x+y^{3}x^{-1}. Diferenciando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(x+\frac{y^{3}}{x}\Big)=1-\frac{y^{3}}{x^{2}}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=-2\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}=1-\frac{y^{3}}{x^{2}},
essas quantidades não são iguais em geral. Portanto a EDO original NÃO é exata.

Passo 4

O que é um fator integrante? É uma função \mu(x,y) tal que ao multiplicar a EDO obtemos
\mu M\,dx+\mu N\,dy=0
que seja exata, isto é, que satisfaça
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}.
Nesse exercício o enunciado já nos fornece a candidata
\mu(x,y)=\frac{x}{y^{2}}.
Vamos checar que ela realmente funciona.

Passo 5

Multiplico M e N por \mu. Primeiro
\mu M=\frac{x}{y^{2}}\cdot(-2y)=-2\frac{x}{y}.
E
\mu N=\frac{x}{y^{2}}\left(x+\frac{y^{3}}{x}\right)=\frac{x^{2}}{y^{2}}+y.

Passo 6

Agora calculo as derivadas parciais da nova equação:
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(-2\frac{x}{y}\Big)=-2x\cdot\frac{d}{dy}\big(y^{-1}\big)=-2x\cdot(-1)y^{-2}=\frac{2x}{y^{2}}.
E
\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{x^{2}}{y^{2}}+y\Big)=\frac{2x}{y^{2}}+0=\frac{2x}{y^{2}}.
Como
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}=\frac{2x}{y^{2}},
a equação multiplicada por \mu é exata. Sucesso: \mu(x,y)=\dfrac{x}{y^{2}} é de fato um fator integrante.

Passo 7

Agora resolvemos a EDO exata resultante. Procuramos \Phi(x,y) tal que
\Phi_x=\mu M=-2\frac{x}{y}, \qquad \Phi_y=\mu N=\frac{x^{2}}{y^{2}}+y.
Integro \Phi_x em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int -2\frac{x}{y}\,dx=-\frac{2}{y}\cdot\frac{x^{2}}{2}=-\frac{x^{2}}{y}+h(y),
onde h(y) é função de y só (constante de integração em relação a x).

Passo 8

Consistência: derivo \Phi obtida em relação a y e igualo a \Phi_y:
\Phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\Big(-\frac{x^{2}}{y}+h(y)\Big)=\frac{x^{2}}{y^{2}}+h'(y).
Mas deve valer \Phi_y=\dfrac{x^{2}}{y^{2}}+y. Logo
h'(y)=y.
Integrando:
h(y)=\frac{y^{2}}{2}+C.
Portanto a função potencial é
\Phi(x,y)=-\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{2}+C.

Passo 9

A solução geral implícita da EDO (após multiplicar pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=\text{const},
ou seja
-\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{2}=C,
que é a família de curvas que satisfaz a EDO original quando y\neq 0.

Resposta

A EDO não é exata porque \dfrac{\partial M}{\partial y}=-2 e \dfrac{\partial N}{\partial x}=1-\dfrac{y^{3}}{x^{2}}, que são diferentes.
Multiplicando por \mu(x,y)=\dfrac{x}{y^{2}} obtém-se equação exata com potencial \Phi(x,y)=-\dfrac{x^{2}}{y}+\dfrac{y^{2}}{2}; solução implícita -\dfrac{x^{2}}{y}+\dfrac{y^{2}}{2}=C.

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