[0,8] Determinar o coeficiente de x^{12} nas seguintes expansões:

Passo 1

O enunciado fornecido diz apenas: “Determinar o coeficiente de x^{12} nas seguintes expansões:” mas não inclui quais são essas expansões. Portanto:
  • O que o enunciado pede: determinar o coeficiente de x^{12}.
  • O que foi dado: o pedido acima, sem especificação das expansões a serem desenvolvidas.
  • Informação faltante e necessária: as expressões (polinômios, séries ou produtos) cujas expansões devemos analisar. Sem elas não há dados numéricos ou simbólicos suficientes para calcular o coeficiente pedido.

Passo 2

Como o enunciado não lista as expansões, não é possível calcular um valor concreto para o coeficiente de x^{12}. Para que eu possa dar a resposta numérica exata seria necessário receber as expressões (por exemplo: (1+x)^{20}, (1+x+x^2)^7, (1+x)^{15}(1-x)^3, etc.). Sem essa informação, qualquer número dado seria inventado e portanto errado para o problema real.

Passo 3

Mesmo não podendo resolver o caso concreto por falta de dados, vou ensinar os métodos práticos que normalmente se usam numa prova para encontrar o coeficiente de x^{12}. Assim, quando tiveres as expansões, saberás aplicar passo a passo.
Métodos principais (resumidos para memorizar):
  • Teorema Binomial (casos (1+x)^n com n inteiro não-negativo): coeficiente de x^k é \displaystyle \binom{n}{k}.
  • Binomial generalizado (para expoentes não inteiros ou negativos): usar \displaystyle (1+x)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}x^{k} com \displaystyle \binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}.
  • Teorema Multinomial (para (a_1+\cdots+a_m)^n): coeficiente de um monômio x^{k} obtém-se somando todos os multinômios cuja soma dos expoentes dá n e cuja combinação produz x^{k}.
  • Produto de séries (produto de polinómios/series): usar produto de Cauchy — coeficiente de x^{n} em A(x)B(x) é \displaystyle \sum_{j=0}^{n} [x^{j}]A(x)\cdot [x^{n-j}]B(x).
  • Trocas de variável e separação por paridade: às vezes é útil escrever x^{12}=(x^2)^6 e trabalhar com séries em x^2 quando só existem potências pares.
  • Filtro de raízes da unidade: quando a expressão impõe congruências modulares nos expoentes, usar somas com raízes da unidade para extrair somente termos cujo expoente ≡ r (mod m).

Passo 4

Vou explicar cada ferramenta com fórmulas e interpretação (passo a passo, devagarinho):
  1. Teorema Binomial (inteiro n\ge0):
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}.
Aqui \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. Significado: \binom{n}{k} conta quantas maneiras escolher k fatores x entre n fatores (1+x).
  1. Produto de séries (Cauchy):
    Se
A(x)=\sum_{i\ge0}a_ix^{i},\qquad B(x)=\sum_{j\ge0}b_jx^{j},
então
A(x)B(x)=\sum_{n\ge0}\Bigg(\sum_{k=0}^{n}a_k b_{n-k}\Bigg)x^{n}.
Interpretação: para obter x^{n} no produto, escolhe-se uma parcela x^{k} de A e x^{n-k} de B; soma-se sobre todos os pares.
  1. Multinomial (para (1+x+x^2+\cdots+x^m)^r ou (a+b+c)^{n}):
(a_1+\cdots+a_m)^{n}=\sum \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_m!}a_1^{n_1}\cdots a_m^{n_m},
onde a soma é sobre todos os n_i\ge0 com \sum n_i=n. Aplicado a potências de x, isso conta as repartições dos expoentes entre os termos.
  1. Transformação combinatória (exemplo útil):
    Se tens (1+x+x^2)^r e queres coeficiente de x^{t}, estás a contar quantas soluções inteiras não-negativas de
e_1+\cdots+e_r=t,\qquad 0\le e_i\le 2.
Trocar variáveis ou usar complemento (por exemplo f_i=2-e_i) frequentemente simplifica o problema.

Passo 5

Calcular coeficiente de x^{12} em (1+x)^{20}.
Pelo Teorema Binomial:
[x^{12}](1+x)^{20}=\binom{20}{12}=\binom{20}{8}.
Cálculo prático:
\binom{20}{8}=\dfrac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo simplificações passo a passo (por exemplo cancelando fatores): obtém-se \displaystyle \binom{20}{8}=125970.
Isto ilustra um caso simples: se a expansão é um binómio com expoente inteiro, é direto.

Passo 6

Calcular coeficiente de x^{12} em (1+x+x^{2})^{7}.
Interpretação: escolher de cada um dos 7 fatores um expoente 0,1 ou 2, de modo que a soma dos expoentes seja 12. Escreve e_1+\cdots+e_7=12 com 0\le e_i\le2. Note que o máximo possível é 2\cdot7=14, então há soluções.
É conveniente transformar: defina f_i=2-e_i. Então f_i\in\{0,1,2\} e
\sum_{i=1}^{7}f_i=14-12=2.
Agora conta-se o número de soluções não-negativas de \sum f_i=2 com f_i\le2. Como a soma total é 2, a condição f_i\le2 é automaticamente satisfeita. O número de soluções não-negativas é
\binom{2+7-1}{7-1}=\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28.
Portanto
[x^{12}](1+x+x^{2})^{7}=28.

Passo 7

Calcular coeficiente de x^{12} em (1+x)^{15}(1-x)^{3}.
Escreve ambas as expansões e usa a regra de produto:
(1+x)^{15}=\sum_{k=0}^{15}\binom{15}{k}x^{k},\qquad (1-x)^{3}=\sum_{j=0}^{3}\binom{3}{j}(-1)^{j}x^{j}.
Pelo produto de Cauchy,
[x^{12}](1+x)^{15}(1-x)^{3}=\sum_{j=0}^{3}\binom{15}{12-j}\binom{3}{j}(-1)^{j}.
Avalia termo a termo (usar \binom{15}{12-j}=\binom{15}{3+j} quando for conveniente):
  • j=0: \binom{15}{12}\binom{3}{0}(-1)^{0}=\binom{15}{3}=455.
  • j=1: \binom{15}{11}\binom{3}{1}(-1)^{1}=-3\binom{15}{4}=-3\cdot1365=-4095.
  • j=2: \binom{15}{10}\binom{3}{2}(-1)^{2}=3\binom{15}{5}=3\cdot3003=9009.
  • j=3: \binom{15}{9}\binom{3}{3}(-1)^{3}=-\binom{15}{6}=-5005.
    Somando:
455-4095+9009-5005=364.
Logo
[x^{12}](1+x)^{15}(1-x)^{3}=364.

Passo 8

Resumo prático para a prova:
  • Identifica o tipo de expressão (binómio, produto de binómios, soma finita de potências, série infinita).
  • Se for binómio com expoente inteiro, aplica \binom{n}{k} diretamente.
  • Se for produto de polinómios, usa a soma convolutiva (produto de Cauchy) e limite as somas à faixa de índices não-nulos.
  • Se for soma com termos 1+x+\cdots+x^{m} elevados a uma potência r, transforme em problema de contagem de soluções inteiras com limites por variável (ou use multinomial).
  • Para expoentes não inteiros/infinitos, usa o binómio generalizado ou séries de Taylor conforme apropriado.
    Fica calmo: quando me deres as expansões concretas eu aplico estes passos detalhadamente ao caso real e encontro o coeficiente de x^{12} passo a passo contigo.

Resposta

Não é possível determinar o coeficiente de x^{12} porque as expansões não foram fornecidas no enunciado.

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