[0,8] Determinar o coeficiente de
nas seguintes expansões:
Passo 1
O enunciado fornecido diz apenas: “Determinar o coeficiente de
nas seguintes expansões:” mas não inclui quais são essas expansões. Portanto:
- O que o enunciado pede: determinar o coeficiente de
. - O que foi dado: o pedido acima, sem especificação das expansões a serem desenvolvidas.
- Informação faltante e necessária: as expressões (polinômios, séries ou produtos) cujas expansões devemos analisar. Sem elas não há dados numéricos ou simbólicos suficientes para calcular o coeficiente pedido.
Passo 2
Como o enunciado não lista as expansões, não é possível calcular um valor concreto para o coeficiente de
. Para que eu possa dar a resposta numérica exata seria necessário receber as expressões (por exemplo:
,
,
, etc.). Sem essa informação, qualquer número dado seria inventado e portanto errado para o problema real.
Passo 3
Mesmo não podendo resolver o caso concreto por falta de dados, vou ensinar os métodos práticos que normalmente se usam numa prova para encontrar o coeficiente de
. Assim, quando tiveres as expansões, saberás aplicar passo a passo.
Métodos principais (resumidos para memorizar):
- Teorema Binomial (casos
com inteiro não-negativo): coeficiente de é . - Binomial generalizado (para expoentes não inteiros ou negativos): usar
com . - Teorema Multinomial (para
): coeficiente de um monômio obtém-se somando todos os multinômios cuja soma dos expoentes dá e cuja combinação produz . - Produto de séries (produto de polinómios/series): usar produto de Cauchy — coeficiente de
em é . - Trocas de variável e separação por paridade: às vezes é útil escrever
e trabalhar com séries em quando só existem potências pares. - Filtro de raízes da unidade: quando a expressão impõe congruências modulares nos expoentes, usar somas com raízes da unidade para extrair somente termos cujo expoente ≡ r (mod m).
Passo 4
Vou explicar cada ferramenta com fórmulas e interpretação (passo a passo, devagarinho):
- Teorema Binomial (inteiro
):
Aqui
. Significado:
conta quantas maneiras escolher
fatores
entre
fatores
.
- Produto de séries (Cauchy):
Se
então
Interpretação: para obter
no produto, escolhe-se uma parcela
de
e
de
; soma-se sobre todos os pares.
- Multinomial (para
ou ):
onde a soma é sobre todos os
com
. Aplicado a potências de
, isso conta as repartições dos expoentes entre os termos.
- Transformação combinatória (exemplo útil):
Se tense queres coeficiente de , estás a contar quantas soluções inteiras não-negativas de
Trocar variáveis ou usar complemento (por exemplo
) frequentemente simplifica o problema.
Passo 5
Calcular coeficiente de
em
.
Pelo Teorema Binomial:
Pelo Teorema Binomial:
Cálculo prático:
Fazendo simplificações passo a passo (por exemplo cancelando fatores): obtém-se
.
Isto ilustra um caso simples: se a expansão é um binómio com expoente inteiro, é direto.
Isto ilustra um caso simples: se a expansão é um binómio com expoente inteiro, é direto.
Passo 6
Calcular coeficiente de
em
.
Interpretação: escolher de cada um dos fatores um expoente
ou
, de modo que a soma dos expoentes seja
. Escreve
com
. Note que o máximo possível é
, então há soluções.
É conveniente transformar: defina . Então
e
Interpretação: escolher de cada um dos
É conveniente transformar: defina
Agora conta-se o número de soluções não-negativas de
com
. Como a soma total é
, a condição
é automaticamente satisfeita. O número de soluções não-negativas é
Portanto
Passo 7
Calcular coeficiente de
em
.
Escreve ambas as expansões e usa a regra de produto:
Escreve ambas as expansões e usa a regra de produto:
Pelo produto de Cauchy,
Avalia termo a termo (usar
quando for conveniente):
-
: -
: -
: -
:
Somando:
Logo
Passo 8
Resumo prático para a prova:
- Identifica o tipo de expressão (binómio, produto de binómios, soma finita de potências, série infinita).
- Se for binómio com expoente inteiro, aplica
diretamente. - Se for produto de polinómios, usa a soma convolutiva (produto de Cauchy) e limite as somas à faixa de índices não-nulos.
- Se for soma com termos
elevados a uma potência , transforme em problema de contagem de soluções inteiras com limites por variável (ou use multinomial). - Para expoentes não inteiros/infinitos, usa o binómio generalizado ou séries de Taylor conforme apropriado.
Fica calmo: quando me deres as expansões concretas eu aplico estes passos detalhadamente ao caso real e encontro o coeficiente depasso a passo contigo.
Resposta
Não é possível determinar o coeficiente de
porque as expansões não foram fornecidas no enunciado.