[1,0] Determinar o número racional, para os seguintes números representados sob a forma de fração contínua:
[1,2,3,4];

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número racional correspondente à fração contínua [1,2,3,4].
Informações dadas:
  • A sequência de termos da fração contínua é 1,2,3,4.
  • Precisa-se escrever o valor numérico racional dessa expressão (uma fração comum).

Passo 2

O que significa uma fração contínua escrita como [a_0,a_1,\dots,a_n]?
  • Por definição,
[a_0,a_1,\dots,a_n]=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{\ddots+\cfrac{1}{a_n}}}}.
  • Aqui cada a_i é um inteiro (no nosso caso a_0=1,\\ a_1=2,\\ a_2=3,\\ a_3=4).
    Explicando em palavras: começa-se do termo mais à direita e vai-se “subindo” calculando uma soma seguida de inversão repetida. Essa é a maneira prática e segura de transformar a fração contínua numa fração ordinária.

Passo 3

Vamos aplicar a construção de baixo para cima. Primeiro, considere o último termo a_3=4. O bloco mais interno é simplesmente
a_2+\frac{1}{a_3}=3+\frac{1}{4}.
Calcule 3+\frac{1}{4} escrevendo em forma de fração com denominador comum:
3+\frac{1}{4}=\frac{3\cdot 4}{4}+\frac{1}{4}=\frac{12}{4}+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}.

Passo 4

Agora substituímos esse resultado no nível acima. O próximo bloco é
a_1+\frac{1}{\,a_2+\frac{1}{a_3}\,}=2+\frac{1}{\tfrac{13}{4}}.
Para calcular \frac{1}{\tfrac{13}{4}} invertemos a fração:
\frac{1}{\tfrac{13}{4}}=\frac{4}{13}.
Então
2+\frac{4}{13}=\frac{2\cdot 13}{13}+\frac{4}{13}=\frac{26}{13}+\frac{4}{13}=\frac{30}{13}.

Passo 5

Finalmente, substituímos no nível mais alto:
a_0+\frac{1}{\,a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3}}\,}=1+\frac{1}{\tfrac{30}{13}}.
Novamente, invertemos \tfrac{30}{13}:
\frac{1}{\tfrac{30}{13}}=\frac{13}{30}.
Portanto
1+\frac{13}{30}=\frac{1\cdot 30}{30}+\frac{13}{30}=\frac{30}{30}+\frac{13}{30}=\frac{43}{30}.

Passo 6

Verificação rápida e observação prática:
  • O resultado \dfrac{43}{30} está na forma irredutível porque \gcd(43,30)=1 ( 43 é primo).
  • Dica para a prova: fazer a conta de baixo para cima é quase sempre a forma mais rápida. Outra opção é usar as fórmulas recursivas dos convergentes ( p_k,q_k), mas o procedimento mostrado é suficiente e simples para poucas entradas.

Resposta

\dfrac{43}{30}

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