[1,0] Determinar o número racional, para os seguintes números representados sob a forma de fração contínua:
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número racional correspondente à fração contínua
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência de termos da fração contínua é
. - Precisa-se escrever o valor numérico racional dessa expressão (uma fração comum).
Passo 2
O que significa uma fração contínua escrita como
?
- Por definição,
- Aqui cada
é um inteiro (no nosso caso ).
Explicando em palavras: começa-se do termo mais à direita e vai-se “subindo” calculando uma soma seguida de inversão repetida. Essa é a maneira prática e segura de transformar a fração contínua numa fração ordinária.
Passo 3
Vamos aplicar a construção de baixo para cima. Primeiro, considere o último termo
. O bloco mais interno é simplesmente
Calcule
escrevendo em forma de fração com denominador comum:
Passo 4
Agora substituímos esse resultado no nível acima. O próximo bloco é
Para calcular
invertemos a fração:
Então
Passo 5
Finalmente, substituímos no nível mais alto:
Novamente, invertemos
:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida e observação prática:
- O resultado
está na forma irredutível porque ( é primo). - Dica para a prova: fazer a conta de baixo para cima é quase sempre a forma mais rápida. Outra opção é usar as fórmulas recursivas dos convergentes (
), mas o procedimento mostrado é suficiente e simples para poucas entradas.