(6,00 pontos) Um canal trapezoidal com 5 m de largura de fundo e z=1 tem uma vazão de 35 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. A declividade é 0,004 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e o canal é revestido com concreto liso ( \mathrm{n}= 0,013 ). Sabendo-se que a profundidade crítica é de 1,53 \mathrm{~m}, calcular a distância que separa duas seções, onde as profundidades são 1,69 \mathrm{~m} \mathrm{e} 1,65 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá um canal trapezoidal de fundo b=5\,\mathrm{m} e talude z=1 (ou seja, cada metro de altura tem 1 m de avanço lateral), com declividade do leito S_0=0{,}004, rugosidade de Manning n=0{,}013 e vazão Q=35\,\mathrm{m^3/s}. A profundidade crítica fornecida é y_c=1{,}53\,\mathrm{m}. Precisamos encontrar a distância ao longo do canal que separa duas seções cuja profundidade de fluxo varia de y_1=1{,}69\,\mathrm{m} até y_2=1{,}65\,\mathrm{m}. O conteúdo envolvido é o perfil de escoamento gradualmente variado (GVF) e a aplicação da equação de Manning.

Passo 2

Primeiro determinamos a profundidade de escoamento uniforme y_n resolvendo a equação de Manning
Q \;=\;\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,\sqrt{S_0},
onde, para talude z=1, a área e o raio hidráulico são
A(y)=y\bigl(b+z\,y\bigr)=y\,(5+y), \quad R(y)=\frac{A(y)}{P(y)}, \quad P(y)=b+2\,y\sqrt{1+z^2}=5+2\,y\sqrt2.
Fazendo tentativas numéricas (busca incremental) chega-se a
y_n\approx1{,}24\,\mathrm{m}.

Passo 3

Como y_n=1{,}24<y_c=1{,}53, o declive é suave (mild slope). As profundidades de interesse ( 1{,}69 e 1{,}65) são maiores que y_c, caracterizando um perfil do tipo M2, em que a profundidade decresce ao longo do eixo x.

Passo 4

No escoamento GVF, o balanço entre declive do leito e declive de energia dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} =\frac{S_0 - S_f}{1 - Fr^2},
onde
S_f(y)=\frac{n^2\,Q^2}{A(y)^2\,R(y)^{4/3}}, \quad Fr^2(y)=\frac{Q^2\,T(y)}{g\,A(y)^3}, \quad T(y)=b+2y.
Reorganizando para o comprimento,
\frac{dx}{dy} =\frac{1 - Fr^2(y)}{S_0 - S_f(y)}.

Passo 5

Calculamos numericamente dx/dy em pontos de y de 1{,}65 a 1{,}69 com passo \Delta y=0{,}01. Os resultados resumidos são:
\begin{array}{c|c|c|c} y\;(\mathrm{m}) & S_f(y) & Fr^2(y) & \displaystyle\frac{dx}{dy}\;(\mathrm{m/m})\\hline 1{,}65 & 0{,}00145 & 0{,}7846 & 84{,}5\\\\ 1{,}66 & 0{,}00142 & 0{,}7690 & 89{,}6\\\\ 1{,}67 & 0{,}00139 & 0{,}7530 & 94{,}6\\\\ 1{,}68 & 0{,}00136 & 0{,}7400 & 98{,}6\\\\ 1{,}69 & 0{,}00134 & 0{,}7250 &103{,}2 \end{array}

Passo 6

Para obter a distância L entre y=1{,}69 e y=1{,}65 fazemos
L \;=\;\int_{y=1,65}^{1,69}\frac{dx}{dy}\,dy
e aplicamos a regra de Simpson (quatro subintervalos de largura h=0{,}01):
L \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(1,65)+4f(1,66)+2f(1,67)+4f(1,68)+f(1,69)\Bigr]
=\frac{0{,}01}{3}\Bigl[84{,}5+4\cdot89{,}6+2\cdot94{,}6+4\cdot98{,}6+103{,}2\Bigr] \approx3{,}77\;\mathrm{m}.

Resposta

A distância ao longo do canal entre as seções de profundidade 1{,}69\,\mathrm{m} e 1{,}65\,\mathrm{m} é aproximadamente 3{,}8\,\mathrm{m}.

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