( 3,0 \mathrm{pts} ) Determinar as 3 primeiras frequências naturais de uma viga om balanço com 1 metro de comprimento. Considere E=70 [GPa], \rho=2800\left[\mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right] e a seçāo transversal (quadrada) com lados b=0,05[\mathrm{~m}].

Passo 1

O enunciado pede as três primeiras frequências naturais de flexão de uma viga em balanço de comprimento L=1\,\mathrm{m}, com seção transversal quadrada de lado b=0,05\,\mathrm{m}. Usaremos a teoria de vigas de Euler–Bernoulli: as frequências naturais são
\omega_n = \beta_n^2 \,\sqrt{\frac{E\,I}{\rho\,A}} \quad\text{e}\quad f_n = \frac{\omega_n}{2\pi},
onde E é o módulo de Young, \rho a densidade, A a área da seção e I seu momento de inércia, e \beta_n L são as raízes da equação característica para balanço fixo-livre:
\beta_1L=1{,}875, \beta_2L=4{,}694, \beta_3L=7{,}855.

Passo 2

Calcular área e momento de inércia da seção quadrada de lado b:
A = b^2 = (0{,}05)^2 = 0{,}0025\;\mathrm{m}^2,
I = \frac{b^4}{12} = \frac{(0{,}05)^4}{12} = 5{,}20833\times10^{-7}\;\mathrm{m}^4.

Passo 3

Converter os parâmetros do material:
E = 70\,\text{GPa} = 70\times10^9\;\mathrm{Pa}, \quad \rho = 2800\;\mathrm{kg/m}^3.

Passo 4

Calcular o termo \sqrt{E I/(\rho A)}:
\frac{E\,I}{\rho\,A} =\frac{70\times10^9 \times 5{,}20833\times10^{-7}}{2800\times0{,}0025} =5208{,}33\;\mathrm{m}^4/\mathrm{s}^2
\sqrt{\frac{E\,I}{\rho\,A}} = \sqrt{5208{,}33} =72{,}17\;\mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 5

Como L=1\,\mathrm{m}, temos \beta_n = (\beta_nL)/L = \beta_nL. Então
\omega_n = \beta_n^2 \times 72{,}17\;\mathrm{s}^{-1}.
Para n=1,2,3:
\beta_1=1{,}875, \beta_2=4{,}694, \beta_3=7{,}855.

Passo 6

Calcular \omega_n e f_n:
\omega_1 = (1{,}875)^2\cdot72{,}17 = 253{,}8\;\mathrm{rad/s}, \quad f_1 = \frac{253{,}8}{2\pi} = 40{,}4\;\mathrm{Hz},
\omega_2 = (4{,}694)^2\cdot72{,}17 = 1589{,}9\;\mathrm{rad/s}, \quad f_2 = \frac{1589{,}9}{2\pi} = 253{,}0\;\mathrm{Hz},
\omega_3 = (7{,}855)^2\cdot72{,}17 = 4452{,}2\;\mathrm{rad/s}, \quad f_3 = \frac{4452{,}2}{2\pi} = 708{,}8\;\mathrm{Hz}.

Resposta

As três primeiras frequências naturais são aproximadamente:
f_1 = 40{,}4\;\mathrm{Hz},\quad f_2 = 253{,}0\;\mathrm{Hz},\quad f_3 = 708{,}8\;\mathrm{Hz}.

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