[l x1(k+1) x2(k+1) ]=[cc 0 & 1 -0,16 & -1 ][l x1(k) x2(k) ]+[c 1 0,5 ] u(k),[l x1(0) x2(0) ]=[c 1 -1 ]
(a) Verifique a controlabilidade do sistema.
(b) Determine os sinais de controle u(0) e u(1) tal que x(2)=[ll-1 & 2]^top.

Solução:

(a) Sistema completamente controlável.
(b) u(0)=-3,956 e u(1)=0,138.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente está trabalhando com sistemas lineares no tempo discreto. Aqui, temos um sistema representado por matrizes que descrevem como os estados $ x_1 $ e $ x_2 $ evoluem de um passo para o outro, e também como o controle $ u(k) $ influencia esses estados. Precisamos:
a) Verificar se esse sistema é controlável, ou seja, se conseguimos levar o sistema de qualquer estado inicial para qualquer outro estado desejado usando os controles disponíveis.
b) Descobrir quais valores de controle $ u(0) $ e $ u(1) $ devemos aplicar para que, no passo $ k=2 $, o sistema esteja no estado x1 .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a controlabilidade do sistema. Controlabilidade é uma propriedade que nos diz se conseguimos, através dos controles, mover o sistema de qualquer estado inicial para qualquer estado final em um certo número de passos. Para sistemas lineares, a gente usa a matriz de controlabilidade para verificar isso.

Passo 3

A matriz de controlabilidade $ \mathcal{C} $ é formada concatenando as matrizes $ B $, $ AB $, $ A^2B $, e assim por diante, até termos tantas colunas quanto o número de estados. No nosso caso, temos dois estados, então precisamos das duas primeiras matrizes:
C
Onde $ A $ é a matriz do sistema e $ B $ é a matriz de entrada.

Passo 4

Vamos calcular $ AB $. Primeiro, identificamos as matrizes $ A $ e $ B $:
AB
Multiplicando $ A $ por $ B $:
A

Passo 5

Agora, montamos a matriz de controlabilidade $ \mathcal{C} $:
C
Para o sistema ser controlável, essa matriz precisa ter posto completo, ou seja, o número de linhas independentes deve ser igual ao número de estados, que aqui é 2.

Passo 6

Vamos calcular o determinante de $ \mathcal{C} $ para verificar se é diferente de zero:
C
Como o determinante é diferente de zero ($ det(\mathcal{C}) \neq 0 $), a matriz de controlabilidade tem posto 2, ou seja, é de posto completo.

Passo 7

Como a matriz de controlabilidade tem posto completo, podemos concluir que o sistema é completamente controlável. Isso significa que podemos, de fato, levar o sistema de qualquer estado inicial para qualquer estado final desejado usando os controles disponíveis.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar os valores de controle $ u(0) $ e $ u(1) $ de forma que, no passo $ k=2 $, o estado do sistema seja:
u(0)
Vamos usar as equações do sistema para expressar $ \mathbf{x}(2) $ em termos de $ u(0) $ e $ u(1) $.

Passo 9

Sabemos que:
x(k+1) = A x(k) + B u(k)
Começamos com o estado inicial $ \mathbf{x}(0) = x(0) = 1 -1 $. Vamos calcular $ \mathbf{x}(1) $ e $ \mathbf{x}(2) $:
Para $ k=0 $:
x(1)
Calculando $ A \mathbf{x}(0) $:
x(2)
Então:
k=0

Passo 10

Agora, calculamos $ \mathbf{x}(2) $:
x(2)
Substituindo $ \mathbf{x}(1) $:
x(2) = A x(1) + B u(1)
Vamos calcular $ A \mathbf{x}(1) $:
x(1)
Simplificando:
x(2) = A -1 + u(0) 0,84 + 0,5 u(0) + B u(1)
Então:
A x(1)

Passo 11

Queremos que $ \mathbf{x}(2) = x(2) = -1 2 $. Então, igualamos as componentes:
0,84 + 0,5 u(0) + u(1) = -1 -0,68 - 0,66 u(0) + 0,5 u(1) = 2
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas $ u(0) $ e $ u(1) $.

Passo 12

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
0,84 + 0,5 u(0) + u(1) = -1 implies 0,5 u(0) + u(1) = -1 - 0,84 = -1,84 (Equação 1) çã
Da segunda equação:
-0,68 - 0,66 u(0) + 0,5 u(1) = 2 implies -0,66 u(0) + 0,5 u(1) = 2 + 0,68 = 2,68 (Equação 2) çã

Passo 13

Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vou usar eliminação. Primeiro, multiplicamos a Equação 1 por 0,66 para alinhar os coeficientes de $ u(0) $:
u(0) çã
Agora, multiplicamos a Equação 2 por 0,5:
0,66 times (0,5 u(0) + u(1)) = 0,66 times (-1,84) implies 0,33 u(0) + 0,66 u(1) = -1,2144 (Equação 3) çã

Passo 14

Somando a Equação 3 e a Equação 4 para eliminar $ u(0) $:
u(0)
Isso simplifica para:
(0,33 u(0) - 0,33 u(0)) + (0,66 u(1) + 0,25 u(1)) = -1,2144 + 1,34
Então:
0 + 0,91 u(1) = 0,1256

Passo 15

Agora que temos $ u(1) \approx 0,138 $, substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar $ u(0) $:
u(1) approx 0,138

Resposta

(a) O sistema é completamente controlável.
(b) Os sinais de controle são $ u(0) = -3,956 $ e $ u(1) = 0,138 $.

Exercícios relacionados