(a) Verifique a controlabilidade do sistema.
(b) Determine os sinais de controle
e
tal que
.
Solução:
(a) Sistema completamente controlável.
(b)
e
.
(b) Determine os sinais de controle
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente está trabalhando com sistemas lineares no tempo discreto. Aqui, temos um sistema representado por matrizes que descrevem como os estados $ x_1 $ e $ x_2 $ evoluem de um passo para o outro, e também como o controle $ u(k) $ influencia esses estados. Precisamos:
a) Verificar se esse sistema é controlável, ou seja, se conseguimos levar o sistema de qualquer estado inicial para qualquer outro estado desejado usando os controles disponíveis.
b) Descobrir quais valores de controle $ u(0) $ e $ u(1) $ devemos aplicar para que, no passo $ k=2 $, o sistema esteja no estado
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a controlabilidade do sistema. Controlabilidade é uma propriedade que nos diz se conseguimos, através dos controles, mover o sistema de qualquer estado inicial para qualquer estado final em um certo número de passos. Para sistemas lineares, a gente usa a matriz de controlabilidade para verificar isso.
Passo 3
A matriz de controlabilidade $ \mathcal{C} $ é formada concatenando as matrizes $ B $, $ AB $, $ A^2B $, e assim por diante, até termos tantas colunas quanto o número de estados. No nosso caso, temos dois estados, então precisamos das duas primeiras matrizes:
Onde $ A $ é a matriz do sistema e $ B $ é a matriz de entrada.
Passo 4
Vamos calcular $ AB $. Primeiro, identificamos as matrizes $ A $ e $ B $:
Multiplicando $ A $ por $ B $:
Passo 5
Agora, montamos a matriz de controlabilidade $ \mathcal{C} $:
Para o sistema ser controlável, essa matriz precisa ter posto completo, ou seja, o número de linhas independentes deve ser igual ao número de estados, que aqui é 2.
Passo 6
Vamos calcular o determinante de $ \mathcal{C} $ para verificar se é diferente de zero:
Como o determinante é diferente de zero ($ det(\mathcal{C}) \neq 0 $), a matriz de controlabilidade tem posto 2, ou seja, é de posto completo.
Passo 7
Como a matriz de controlabilidade tem posto completo, podemos concluir que o sistema é completamente controlável. Isso significa que podemos, de fato, levar o sistema de qualquer estado inicial para qualquer estado final desejado usando os controles disponíveis.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar os valores de controle $ u(0) $ e $ u(1) $ de forma que, no passo $ k=2 $, o estado do sistema seja:
Vamos usar as equações do sistema para expressar $ \mathbf{x}(2) $ em termos de $ u(0) $ e $ u(1) $.
Passo 9
Sabemos que:
Começamos com o estado inicial $ \mathbf{x}(0) =
$. Vamos calcular $ \mathbf{x}(1) $ e $ \mathbf{x}(2) $:
Para $ k=0 $:
Calculando $ A \mathbf{x}(0) $:
Então:
Passo 10
Agora, calculamos $ \mathbf{x}(2) $:
Substituindo $ \mathbf{x}(1) $:
Vamos calcular $ A \mathbf{x}(1) $:
Simplificando:
Então:
Passo 11
Queremos que $ \mathbf{x}(2) =
$. Então, igualamos as componentes:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas $ u(0) $ e $ u(1) $.
Passo 12
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 13
Podemos resolver esse sistema por substituição ou eliminação. Vou usar eliminação. Primeiro, multiplicamos a Equação 1 por 0,66 para alinhar os coeficientes de $ u(0) $:
Agora, multiplicamos a Equação 2 por 0,5:
Passo 14
Somando a Equação 3 e a Equação 4 para eliminar $ u(0) $:
Isso simplifica para:
Então:
Passo 15
Agora que temos $ u(1) \approx 0,138 $, substituímos esse valor na Equação 1 para encontrar $ u(0) $:
Resposta
(a) O sistema é completamente controlável.
(b) Os sinais de controle são $ u(0) = -3,956 $ e $ u(1) = 0,138 $.