Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente tem uma função de transferência dada por Y(z)U(z)=z+2z^2+4 z+3 e precisamos colocá-la na forma canônica controlável. Aqui, estamos trabalhando com representação no espaço de estados, que é uma maneira de modelar sistemas dinâmicos usando matrizes. Para isso, vamos precisar entender como converter a função de transferência para a forma de Estado com a estrutura controlável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a forma canônica controlável é uma representação no espaço de estados onde a matriz de estado A tem uma estrutura específica que facilita o controle do sistema. A estrutura geral para um sistema de segunda ordem é:
A = 0 & 1 -a2 & -a1 , B = 0 1 , C = b1 & b0 , D = d
Onde os coeficientes a1, a2, b0, b1, e d vêm do numerador e denominador da função de transferência.
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes da nossa função de transferência Y(z)U(z)=z+2z^2+4 z+3. Aqui, o denominador é z^2 + 4z + 3, então temos:
a1 = 4
a2 = 3
O numerador é z + 2, então:
b1 = 1
b0 = 2
E como não há termo constante no D, d = 0
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na estrutura da forma canônica controlável:
A = 0 & 1 -3 & -4 , B = 0 1 , C = 1 & 2 , D = 0
Passo 5
Finalmente, escrevemos as equações de estado e a saída usando as matrizes que encontramos:
Agora, vamos para a parte (b). A função de transferência é Y(z)U(z)=z+4z^3+6 z^2+11 z+6 e precisamos colocá-la na forma canônica observável. Essa forma é útil para análise e observação do sistema a partir das saídas.
Passo 7
A forma canônica observável para um sistema de terceira ordem é organizada de forma que cada estado está ligado à observação direta da saída. A estrutura geral é:
A = 0 & 0 & -a3 1 & 0 & -a2 0 & 1 & -a1 , B = b2 b1 b0 , C = 0 & 0 & 1 , D = d
Passo 8
Vamos extrair os coeficientes da função de transferência Y(z)U(z)=z+4z^3+6 z^2+11 z+6:
Denominador: z^3 + 6z^2 + 11z + 6
a1 = 6
a2 = 11
a3 = 6
Numerador: z + 4
Para ajustar à ordem do denominador (grau 3), escrevemos o numerador como 1z^2 + 0z + 4
Então, b0 = 4, b1 = 1, b2 = 0
Passo 9
Substituindo esses valores na estrutura da forma canônica observável:
A = 0 & 0 & -6 1 & 0 & -11 0 & 1 & -6 , B = 4 1 0 , C = 0 & 0 & 1 , D = 0
Para transformar a função de transferência em forma canônica diagonal ou de Jordan, precisamos diagonalizar a matriz de estado, ou seja, encontrar uma base de vetores próprios. Isso só é possível se a matriz for diagonalizável, ou seja, se tiver um conjunto completo de vetores próprios.
A estrutura geral para a forma canônica diagonal é:
A = lambda1 & 0 0 & lambda2 , B = b1 b2 , C = c1 & c2 , D = d
Onde lambda1 e lambda2 são os autovalores de A.
Passo 13
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função de transferência Y(z)U(z)=z^2+0,6 z+0,08z^2+0,4 z+0,03:
Denominador: z^2 + 0,4z + 0,03
a1 = 0,4
a2 = 0,03
Numerador: z^2 + 0,6z + 0,08
b0 = 0,08
b1 = 0,6
b2 = 1
Agora, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica z^2 + 0,4z + 0,03 = 0:
Por último, vamos resolver a parte (d). A função de transferência é Y(z)U(z)=z-0,1z^3+0,1 z^2-0,08 z-0,012 e precisamos colocá-la na forma canônica diagonal ou de Jordan. Essa forma ajuda a simplificar a análise do sistema, especialmente se a matriz de estado puder ser diagonalizada.
Passo 17
Primeiro, identificamos os coeficientes da função de transferência Y(z)U(z)=z-0,1z^3+0,1 z^2-0,08 z-0,012:
Denominador: z^3 + 0,1z^2 - 0,08z - 0,012
a1 = 0,1
a2 = -0,08
a3 = -0,012
Numerador: z - 0,1
Para ajustar à ordem do denominador (grau 3), escrevemos o numerador como 1z^2 + (-0,1)z + 0
Então, b0 = 0, b1 = -0,1, b2 = 1
Passo 18
Agora, precisamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica z^3 + 0,1z^2 - 0,08z - 0,012 = 0. Vamos supor que os autovalores são lambda1 = -0,2, lambda2 = -0,2, e lambda3 = 0,3. Note que lambda1 e lambda2 são iguais, indicando uma possível estrutura de Jordan.
Passo 19
Com os autovalores, montamos a matriz A na forma de Jordan:
A = -0,2 & 1 & 0 0 & -0,2 & 0 0 & 0 & 0,3
As matrizes B e C são determinadas a partir dos coeficientes da função de transferência: