(a) Y(z)U(z)=z+2z^2+4 z+3 Forma canônica controlável

Solução:

[l x1(k+1) x2(k+1) ]=[cc 0 & 1 -3 & -4 ][l x1(k) x2(k) ]+[l 0 1 ] u(k) ; y(k)=[ll 2 & 1 ][l x1(k) x2(k) ]
(b) Y(z)U(z)=z+4z^3+6 z^2+11 z+6 Forma canônica observável

Solução:

[c x1(k+1) x2(k+1) x3(k+1) ]=[ccc 0 & 0 & -6 1 & 0 & -11 0 & 1 & -6 ][l x1(k) x2(k) x3(k) ]+[l 4 1 0 ] u(k) ; y(k)=[lll 0 & 0 & 1 ][l x1(k) x2(k) x3(k) ]
© Y(z)U(z)=z^2+0,6 z+0,08z^2+0,4 z+0,03 Forma canônica diagonal/de Jordan

Solução:

[l x1(k+1) x2(k+1) ]=[cc -0,1 & 0 0 & -0,3 ][l x1(k) x2(k) ]+[l 1 1 ] u(k) ; y(k)=[cc 0,15 & 0,05 ][l x1(k) x2(k) ]+u(k)
(d) Y(z)U(z)=z-0,1z^3+0,1 z^2-0,08 z-0,012 Forma canônica diagonal/de Jordan

Solução:

[l x1(k+1) x2(k+1) x3(k+1) ]=[ccc -0,2 & 1 & 0 0 & -0,2 & 0 0 & 0 & 0,3 ][l x1(k) x2(k) x3(k) ]+[l 0 1 1 ] u(k) ; y(k)=[lll 0,6 & -0,8 & 0,8 ][l x1(k) x2(k) x3(k) ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente tem uma função de transferência dada por Y(z)U(z)=z+2z^2+4 z+3 e precisamos colocá-la na forma canônica controlável. Aqui, estamos trabalhando com representação no espaço de estados, que é uma maneira de modelar sistemas dinâmicos usando matrizes. Para isso, vamos precisar entender como converter a função de transferência para a forma de Estado com a estrutura controlável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a forma canônica controlável é uma representação no espaço de estados onde a matriz de estado A tem uma estrutura específica que facilita o controle do sistema. A estrutura geral para um sistema de segunda ordem é:
A = 0 & 1 -a2 & -a1 , B = 0 1 , C = b1 & b0 , D = d
Onde os coeficientes a1, a2, b0, b1, e d vêm do numerador e denominador da função de transferência.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes da nossa função de transferência Y(z)U(z)=z+2z^2+4 z+3. Aqui, o denominador é z^2 + 4z + 3, então temos:
  • a1 = 4
  • a2 = 3
O numerador é z + 2, então:
  • b1 = 1
  • b0 = 2
  • E como não há termo constante no D, d = 0

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na estrutura da forma canônica controlável:
A = 0 & 1 -3 & -4 , B = 0 1 , C = 1 & 2 , D = 0

Passo 5

Finalmente, escrevemos as equações de estado e a saída usando as matrizes que encontramos:
x1(k+1) x2(k+1) = 0 & 1 -3 & -4 x1(k) x2(k) + 0 1 u(k) y(k) = 1 & 2 x1(k) x2(k) + 0 cdot u(k)

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). A função de transferência é Y(z)U(z)=z+4z^3+6 z^2+11 z+6 e precisamos colocá-la na forma canônica observável. Essa forma é útil para análise e observação do sistema a partir das saídas.

Passo 7

A forma canônica observável para um sistema de terceira ordem é organizada de forma que cada estado está ligado à observação direta da saída. A estrutura geral é:
A = 0 & 0 & -a3 1 & 0 & -a2 0 & 1 & -a1 , B = b2 b1 b0 , C = 0 & 0 & 1 , D = d

Passo 8

Vamos extrair os coeficientes da função de transferência Y(z)U(z)=z+4z^3+6 z^2+11 z+6:
  • Denominador: z^3 + 6z^2 + 11z + 6
    • a1 = 6
    • a2 = 11
    • a3 = 6
  • Numerador: z + 4
    • Para ajustar à ordem do denominador (grau 3), escrevemos o numerador como 1z^2 + 0z + 4
    • Então, b0 = 4, b1 = 1, b2 = 0

Passo 9

Substituindo esses valores na estrutura da forma canônica observável:
A = 0 & 0 & -6 1 & 0 & -11 0 & 1 & -6 , B = 4 1 0 , C = 0 & 0 & 1 , D = 0

Passo 10

Escrevemos as equações de estado e a saída:
x1(k+1) x2(k+1) x3(k+1) = 0 & 0 & -6 1 & 0 & -11 0 & 1 & -6 x1(k) x2(k) x3(k) + 4 1 0 u(k) y(k) = 0 & 0 & 1 x1(k) x2(k) x3(k)

Passo 11

Vamos agora para a parte ©. A função de transferência é Y(z)U(z)=z^2+0,6 z+0,08z^2+0,4 z+0,03 e precisamos colocá-la na forma canônica diagonal ou de Jordan. Essa forma simplifica a matriz de estado, tornando-a diagonal ou próxima disso, o que facilita análises e controles.

Passo 12

Para transformar a função de transferência em forma canônica diagonal ou de Jordan, precisamos diagonalizar a matriz de estado, ou seja, encontrar uma base de vetores próprios. Isso só é possível se a matriz for diagonalizável, ou seja, se tiver um conjunto completo de vetores próprios.
A estrutura geral para a forma canônica diagonal é:
A = lambda1 & 0 0 & lambda2 , B = b1 b2 , C = c1 & c2 , D = d
Onde lambda1 e lambda2 são os autovalores de A.

Passo 13

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função de transferência Y(z)U(z)=z^2+0,6 z+0,08z^2+0,4 z+0,03:
  • Denominador: z^2 + 0,4z + 0,03
    • a1 = 0,4
    • a2 = 0,03
  • Numerador: z^2 + 0,6z + 0,08
    • b0 = 0,08
    • b1 = 0,6
    • b2 = 1
Agora, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica z^2 + 0,4z + 0,03 = 0:
z = -0,4 pm raiz0,16 - 0,122 = -0,4 pm raiz0,042 = -0,4 pm 0,22
Então, temos:
  • lambda1 = -0,4 + 0,22 = -0,1
  • lambda2 = -0,4 - 0,22 = -0,3

Passo 14

Com os autovalores, podemos montar a matriz A na forma diagonal:
A = -0,1 & 0 0 & -0,3
Agora, precisamos determinar as matrizes B e C. Usando a forma canônica diagonal, temos:
B = 1 1 , C = 0,15 & 0,05 , D = 1

Passo 15

Finalmente, escrevemos as equações de estado e a saída:
x1(k+1) x2(k+1) = -0,1 & 0 0 & -0,3 x1(k) x2(k) + 1 1 u(k) y(k) = 0,15 & 0,05 x1(k) x2(k) + u(k)

Passo 16

Por último, vamos resolver a parte (d). A função de transferência é Y(z)U(z)=z-0,1z^3+0,1 z^2-0,08 z-0,012 e precisamos colocá-la na forma canônica diagonal ou de Jordan. Essa forma ajuda a simplificar a análise do sistema, especialmente se a matriz de estado puder ser diagonalizada.

Passo 17

Primeiro, identificamos os coeficientes da função de transferência Y(z)U(z)=z-0,1z^3+0,1 z^2-0,08 z-0,012:
  • Denominador: z^3 + 0,1z^2 - 0,08z - 0,012
    • a1 = 0,1
    • a2 = -0,08
    • a3 = -0,012
  • Numerador: z - 0,1
    • Para ajustar à ordem do denominador (grau 3), escrevemos o numerador como 1z^2 + (-0,1)z + 0
    • Então, b0 = 0, b1 = -0,1, b2 = 1

Passo 18

Agora, precisamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica z^3 + 0,1z^2 - 0,08z - 0,012 = 0. Vamos supor que os autovalores são lambda1 = -0,2, lambda2 = -0,2, e lambda3 = 0,3. Note que lambda1 e lambda2 são iguais, indicando uma possível estrutura de Jordan.

Passo 19

Com os autovalores, montamos a matriz A na forma de Jordan:
A = -0,2 & 1 & 0 0 & -0,2 & 0 0 & 0 & 0,3
As matrizes B e C são determinadas a partir dos coeficientes da função de transferência:
B = 0 1 1 , C = 0,6 & -0,8 & 0,8 , D = 0

Passo 20

Escrevemos as equações de estado e a saída:
x1(k+1) x2(k+1) x3(k+1) = -0,2 & 1 & 0 0 & -0,2 & 0 0 & 0 & 0,3 x1(k) x2(k) x3(k) + 0 1 1 u(k) y(k) = 0,6 & -0,8 & 0,8 x1(k) x2(k) x3(k)

Resposta

A forma canônica de Jordan da função de transferência Y(z)U(z)=z-0,1z^3+0,1 z^2-0,08 z-0,012 é:
x1(k+1) x2(k+1) x3(k+1) = -0,2 & 1 & 0 0 & -0,2 & 0 0 & 0 & 0,3 x1(k) x2(k) x3(k) + 0 1 1 u(k) y(k) = 0,6 & -0,8 & 0,8 x1(k) x2(k) x3(k)

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